Uma barra de seção reta circular, A B , tem uma rótula na extremidade B e se apoia sobre uma superfície vertical lisa na extremidade A . Determinar a distância s , para a seção reta na qual a tensão de compressão é máxima devido ao peso da barra.

Passo 1

Nosso objetivo principal é determinar a tensão de flexão máxima na viga, σ m á x !

Pois muito bem! Sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ = M F l y I z z

Onde...

  • M F l é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção mais distante possível do centroide. Isso na caso da tensão admissível.
  • I z z é o momento de inércia da área da seção

Lembrando que dependendo dos sinais de M F l e de y , a tensão σ pode assumir valores positivos ou negativos, de tração ou de compressão.

Vamos começar então, fazendo um esboço da situação... Pra entender melhor o que está acontecendo, representando também o diagrama de corpo livre da barra...

Estamos assumindo que a comporta tem uma largura l ! Apesar de que o enunciado não nos disse nada! Mas só depois que vc aí, usuário do Responde Aí, vai entender o porquê?

Em seguida, vamos fazer um esboço do diagrama de corpo livre dessa viga...

Passo 2

A força F é a força devido à pressão P da água e é dada basicamente por...

F = P A

Onde A é a área lateral da comporta! Sendo assim...

F = P A

F = γ á g u a h ⋅ l h

F = γ á g u a l h 2

E com base na figura anterior, por simetria, temos que...

R 1 = R 2

R 1 + R 2 = γ á g u a l h 2

R 1 = γ á g u a l h 2

R 2 = γ á g u a l h 2 2

Agora, baseado nesses dados, vamos obter o esforço cortante e momento fletor atuantes na barra. Temos que analisar duas partes na barra. Primeiro, a parte A C e depois a parte C B .

Para a parte A C :

↑ + ∑ F = 0

- V + R 1 = 0

V = R 1

V = γ á g u a l h 2 2

⤻ + ∑ M = 0

M - R 1 x = 0

M = R 1 x

M = γ á g u a l h 2 2 x

E depois, para a parte C B :

↑ + ∑ F = 0

- V + R 1 - F = 0

V = R 1 - F

V = - γ á g u a l h 2 2

⤻ + ∑ M = 0

M - R 1 y + F y - h 2 = 0

M = R 1 x - F x + F h 2

M = - γ á g u a l h 2 2 x + γ á g u a l h 2 ⋅ h 2

Chegamos assim, ao seguinte gráfico para o momento...

E como podemos ver aí, o momento máximo ocorre em x = h / 2 . E ele vai valer...

M m á x = γ á g u a l h 2 2 x = γ á g u a l h 2 2 ⋅ h 2  

M m á x = γ á g u a l h 3 4

Passo 3

E a gente sabe que a nossa viga tem uma seção reta retangular com espessura e e largura l . Aqui, pelo modo com as forças estão sendo aplicadas. " l " vai ser a nossa base e " e " vai ser a nossa altura.

Sendo assim, fica de boas calcular o momento de inércia I z z ...

I z z = l e 3 12

E a posição y mais distante que nos garante a tensão máxima, vai ser a metade da espessura da seção... Ou seja;

y = e 2

Sendo assim, podemos obter σ m á x :

σ m á x = M m á x y I z z

σ m á x = γ á g u a l h 3 4 ⋅ e 2 l e 3 12

σ m á x = γ á g u a e h 3 8 e 3 12

σ m á x = 12 e 3 ⋅ γ á g u a e h 3 8

σ m á x = 3 γ á g u a h 3 2 e 2

Viu só! Foi por isso que o produtor aqui usou aquele l , mesmo a questão não falando nada. No final das contas, ele vai sumir. Substituindo então, os valores numéricos...

σ m á x = 3 γ á g u a h 3 2 e 2

σ m á x = 3 ( 10 - 6   k g f / m m 3 ) ( 5500   m m ) 3 2 ( 300   m m ) 2

σ m á x = 2,77   k g f / m m 2

Pronto! Terminamos aqui! Até a próxima!

Resposta

σ m á x = 2,77   k g f / m m 2

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