Uma viga biapoiada, de comprimento L , é carregada de tal modo que a linha elástica é dada pela expressão v = δ sen ⁡ π x / L , onde δ é a deflexão no centro. Calcular a energia de deformação, U , armazenada na viga.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular a energia de deformação de uma viga biapoiada, é carregada de modo que a equação da linha elástica é dada por:

v = δ sen ⁡ π x L

Com posse dessa informação, precisamos calcular a energia de deformação da viga. Para isto, podemos utilizar a seguinte relação:

U = ∫ E I 2 d 2 v d x 2 2 d x

Com isto, basta substituirmos a segunda derivada da linha elástica e calcular a integral!

Passo 2

Vamos começar calculando a segunda derivada da linha elástica. Portanto,

v ' = δ π L cos ⁡ π x L

v ' ' = - δ π 2 L 2 sen ⁡ π x L

Sendo assim, a nossa integral será:

U = ∫ 0 L E I 2 - δ π 2 L 2 sen ⁡ π x L 2 d x

U = E I δ 2 π 4 2 L 4 ∫ 0 L sen 2 ⁡ π x L d x

U = E I δ 2 π 4 2 L 4 ∫ 0 L 1 - cos ⁡ 2 π x L 2 d x

U = E I δ 2 π 4 2 L 4 x 2 - L sen ⁡ 2 π x L 4 π 0 L

U = E I δ 2 π 4 4 L 3

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U = E I δ 2 π 4 4 L 3

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