A viga representada na figura é engastada nas extremidades A e D e é composta por três elementos, rotulados em B e C . Achar a deflexão sob a carga P .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui nesta questão uma viga composta por três elementos (com duas articulações em B e C ). Com isto, precisamos calcular a deflexão do ponto exatamente sob a carga P nula.

Bom, esta questão tem que ser dividida em três partes: calcular a deflexão em B , a deflexão em C e, por fim, chegar na deflexão sob a carga P .

Para resolvermos a deflexão em B e C , vamos olhar somente para a respectiva viga engastada ( A B ou C D ). Como a carga P é aplicada exatamente no meio de B C , podemos substitui-la por duas forças P 2 , aplicadas cada uma sob B e C .

Bom, agora que a gente já conhece as cargas atuantes em B e C D , podemos calcular as deflexões das suas extremidades livres.

Passo 2

Para calcularmos as deflexões nas extremidades livres da viga, temos que partir para o apêndice D e obter as relações para a deflexão da extremidade livre de uma viga engastada que está submetida a uma carga pontual.

Lá do apêndice nós temos que a fórmula para este caso é:

δ = P L 3 3 E I

Só que cuidado aqui! A fórmula acima é para uma carga P e uma viga de comprimento L .

Claramente temos que alterar a fórmula, pois a nossa carga é P / 2 e o comprimento da viga pode ser 3 L (para o caso de A B ) e L (para o caso de C D )

Fazendo as devidas substituições, temos:

δ B = P 2 3 L 3 3 E I = 9 P L 3 2 E I

δ C = P 2 L 3 3 E I = P L 3 6 E I

Passo 3

Agora podemos partir para o final da questão. Como calculamos no passo anterior, as extremidades de B C vão possuir deflexões diferentes.

Assim, se a gente tivesse esquecido que existe uma força P no meio da viga B C , a deflexão no meio seria exatamente:

δ = δ B + δ C 2 = 28 P L 3 12 E I = 7 P L 3 3 E I

Mas este não é o nosso valor correto por um simples motivo: existe uma força P no meio!!!

Portanto, a deflexão real sob a carga P será o valor 7 P L 3 3 E I somado de alguma coisa.

E esta alguma coisa é a deflexão se assumirmos a viga B C como uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada na sua metade. Lá do apêndice B nós temos a seguinte relação para a deflexão na metade:

δ m e i o = P L 3 48 E I

Mas, novamente, como a viga tem comprimento 2 L , temos:

δ m e i o = P 2 L 3 48 E I = P L 3 6 E I

Então, a deflexão sob a carga P será exatamente:

δ P = δ + δ m e i o

δ P = 7 P L 3 3 E I + P L 3 6 E I

δ P = 5 P L 3 2 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ P = 5 P L 3 2 E I

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