A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a :
Passo 1
O que você precisa lembrar pra resolver essa questão é que o mesmo autoespaço não pode estar associado à dois ou mais autovalores distintos! Sendo assim, como , e são autovalores distintos, então o autovetor associado a deve ser (Linearmente Independentes) em relação à e !
Para checar se os vetores são LI podemos montar uma matriz onde as duas primeiras linhas são os autovetores dados, e a terceira linha o vetor que queremos checar se é LI com os demais. Se conseguirmos zerar a matriz ele será LD, caso contrário, será LI.
Vamos começar pela letra (a), teremos a matriz:
Vamos fazer manipular a matriz com as operações elementares, por exemplo:
Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (a). Beleza?!
Passo 2
Letra (b)
Montando a matriz:
Manipulando a matriz:
Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (b).
Passo 3
Letra (c)
Montando a matriz:
Manipulando a matriz:
Conseguimos zerar a linha, logo são vetores LD e podemos eliminar a letra (c)
Passo 4
Só sobrou a letra (d) , então com certeza é a resposta certa, mas vamos ver o que acontece quando tentamos zerar a matriz.
Montando a matriz:
Manipulando a matriz:
Não conseguimos zerar a última linha, logo, ele é o único com relação aos demais, e portanto é o que pode ser um autovetor associado a .
Show de bola?!
Resposta
Letra