Calcule o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 1 - x 1 - x

Passo 1

Como de costume, vamos substituir o ponto no limite:

lim x → 1 ⁡ 1 - x 1 - x = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Temos uma indeterminação sacana, então vamos ter que manipular o limite achar seu valor.

Passo 2

Bem, podemos começar usando a propriedade do limite e continuidade e jogar o limite para dentro da raiz: lim x → 1 ⁡ 1 - x 1 - x = l i m x → 1 1 - x 1 - x

Agora vamos focar o limite que tá dentro da raiz e substituir seu valor depois.

Passo 3

Show, então temos que calcular agora:

l i m x → 1 1 - x 1 - x

Para tal, vamos tentar tirar essa raiz. Para tal, podemos multiplicar e dividir tudo pelo conjugado do numerador, 1 + x :

l i m x → 1 1 - x 1 - x = l i m x → 1 1 - x 1 - x ⋅ 1 + x 1 + x

Agora a gente distribui os conjugados, mas deixa o denominador em evidência:

l i m x → 1 1 - x 1 - x ⋅ 1 + x 1 + x = l i m x → 1 1 - x 1 - x 1 + x

Viu só por que não distribuímos o denominador? Deixando-o em evidência facilita na hora de visualizar o que podemos cortar. Nesse caso, podemos cortar 1 - x :

l i m x → 1 1 - x 1 - x 1 + x = l i m x → 1 1 1 + x = 1 1 + 1 = 1 2

Passo 4

Cuidado agora! Lembre-se que esse limite está dentro de uma raiz! Temos que substituir nela:

lim x → 1 ⁡ 1 - x 1 - x = l i m x → 1 1 - x 1 - x = 1 2 = 1 2

Pronto!

Resposta

lim x → 1 ⁡ 1 - x 1 - x = 1 2

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