Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Questão 1: (Justifique todas as suas respostas)

Determine se cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira ou Falsa:

2. Considere o PVI

a y ' ' t + b y ' t + c y t = 0 y t 0 = y 0 y ' t 0 = y 0 '

e suponha que

b 2 - 4 a c > 0

Sempre é possível resolver o PVI associado.

V e r d a d e i r a                         F a l s a

Passo 1

Ora, essa afirmativa de que sempre é meio arriscada. Sempre devemos ter cuidado com sempre kkkk.

Saber se o PVI existe ou não para as condições especificadas é uma questão de existência e unicidade da solução do PVI.

Ora, sabemos da teoria que um PVI como este daqui:

a t y ' ' t + b t y ' t + c t y t = 0 y t 0 = y 0 y ' t 0 = y 0 '

Só existe se a t for diferente de 0 ao redor de t 0 .

No nosso caso a t = a , b t = b e c t = c (todas constantes) então para existir esse PVI, necessariamente o a deve ser diferente de 0 :

a ≠ 0

Passo 2

No nosso caso, a única condição sobre a é que ele deve satisfazer a inequação:

b 2 - 4 a c > 0

Mas repare que essa inequação não nos diz muito sobre, apenas que aquela subtração deve ser maior que 0 . Mas se a for igual a 0 e b ≠ 0 ...

b 2 - 4 ⋅ 0 ⋅ c > 0   →

b 2 > 0

O que é verdade, afinal b é não é 0 , então o seu quadrado de fato será maior que 0 sempre, saca?

Passo 3

CONCLUSÃO:

Então, apenas com a condição que foi dada:

b 2 - 4 a c > 0

Não impede que a seja diferente de 0 . Logo, não é sempre que o PVI tem solução não! Se a for 0 , ele com certeza não tem solução!

Resposta

Falsa.

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y