USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 9
Sejam e tais que , e . Suponha que a medida do ângulo entre e seja igual a e que a medida do ângulo entre e seja igual a . Temos que a projeção ortogonal de sobre é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu três vetores que pertencem ao mesmo espaço vetorial , e cujo os módulos são dados por , e . Ele nos deu também o ângulo entre esses vetores, e a gente precisa determinar a projeção ortogonal de sobre .
Mas o que é uma projeção ortonogonal mesmo? Nada mais é do que uma transformação que projeta um vetor, no caso o resultante da equação , sobre outro, no caso , em um mesmo espaço vetorial. A gente pode representar isso assim:
Só que por definição, uma projeção ortogonal é dada por:
No nosso caso, e , então temos:
Então, é isso que nós vamos calcular, prestando atenção nas propriedades do produto escalar e usando os ângulos entre os vetores que o enunciado nos deu.
Vamos lá!
Passo 2
Beleza, então nós temos:
A gente pode começar aplicando a propriedade distributiva pra realizar o produto entre cada termo do parênteses:
Agora a gente precisa lembrar da definição de produto escalar entre dois vetores, que é dado pela expressão:
onde é o ângulo formado entre os vetores. Se os dois vetores forem iguais, o ângulo entre eles é zero, então temos:
Aplicando isso na nossa expressão pra projeção ortogonal, temos:
Mas o enunciado nos disse que a medida do ângulo entre e é igual a e que a medida do ângulo entre e é igual a , então temos:
Além disso, nós sabemos que , e . Substituindo essa informações na equação e calculando os cossenos, obtemos:
Resolvendo os produtos:
Portanto,
Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉