UFCG; Cálculo 1; Lista-1; Limites e continuidade; questão 2b
Calcule os limites , e caso exista.
Onde
e
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular uma série de limites. Bem, vamos dar uma revisadinha na noção de limite? Bora!
Bem, quando estamos querendo saber o valor de um limite, nós queremos saber como a função se comporta ao redor de um certo ponto e não o valor do ponto em si. E como fazemos isso? Podemos analisar pontos cada vez mais próximos do nosso ponto de interesse e verificar o que está acontecendo. Até aqui blz? Agora eu faço a pergunta, o que significa calcular
,
Bem, quando queremos olhar , o que estamos fazendo é verificando o comportamento da função para valores à esquerda de , isto é para valores muito próximo de , mas menores que . E de forma análoga, o que estamos fazendo é verificando o comportamento da função para valores a direita de .
Agora, será que esses limites, , , tem alguma relação com ?
A resposta é sim!! Na verdade o só é definido se
E dizemos que
ou
Agora que fizemos essa revisão conceitual. Vamos calcular o nosso limite de interesse.
Passo 2
O enunciado nos pede para calcular , e caso exista.
Onde
e
Bem, já vimos no passo 1 que a noção de limite tem haver com o comportamento ao redor do ponto. Então vamos começar calculando
Bem, queremos observar como a função se comporta para valores à esquerda de . Como a nossa função é
Então, para valores bem próximos de mas menores que o denominador da função converge para pela esquerda. E o numerador converge para . Ou seja, a nossa função converge para , e o que acontece quando nos dividimos por algo muito pequeno? O valor aumenta muito em módulo.
Então como estamos nos aproximando infinitesimalmente de pela esquerda no nosso denominador (isto quer dizer que o denominador é negativo), a função irá explodir para . Ou seja,
E pelos mesmos argumentos quando olhamos o comportamento da função para valores de a direita de , vemos que o numerador converge para , e o denominador também converge para . Mas converge pela direita, pois estamos olhando os valores de próximos, porém maiores que . Isso implica que a função irá crescer infinitamente. Logo
Passo 3
No passo anterior, obtemos que
Por fim, podemos calcular . Mas lembra que no passo 1 revisamos que esse limite só é bem definido se
E como descobrimos, temos que
Logo não existe
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊