USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.4b
1.4. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de em , sem parametrizar , quando
b. e ;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função restrito à curva e .
Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔
Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Dada uma função e uma restrição , podemos dizer que
Assim, obtendo o valor de podemos encontrar uma maneira de obter e .
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Vamos considerar , mas como foi dito que , então podemos reescrever como
Da mesma forma fazemos , ou seja
Calculando o gradiente de , temos
Calculando o gradiente de
Substituindo na equação e isolando em um lado
Igualando as duas equações...
Substituindo na equação de restrição
Dessa forma, se , então
E consequentemente
Bacana, não é? 😎
Passo 3
Com os valores de , e que encontramos anteriormente sabendo que como , e tem o mesmo sinal, temos os seguintes pontos
, , e .
Agora o que temos que fazer é obter as imagens desses pontos que encontramos e verificar qual é o máximo e qual é o mínimo...
Para
Para
Para
Para
Assim, vemos que para a função é máxima e para a função é mínima.
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Em a função é máxima e para a função é mínima.