Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma refinaria de petróleo está em A na margem norte de um rio reto que tem L = 6   k m de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria até um tanque de armazenamento em B na margem sul do rio, D = 10   k m a leste da refinaria. O custo de construção do oleoduto é R $   8 · 10 5 / k m sobre a terra, até um ponto P na margem norte do rio é R $   10 · 1 0 5 / k m sob o rio até o tanque.

a) Obtenha o custo total de construção do oleoduto, C ( x ) , em função da distância x ∈ [ 0 ,   10 ] , entre A e P .

b) Determine os pontos críticos de C em ( 0 ,   10 ) .

c) Qual o valor de x que minimiza o custo de construção do oleoduto?

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho??

Partiu fazer uma questão bacana sobre otimização que é de praxe em provas de cálculo, mas não se preocupe, vou tentar explicar da melhor forma possível 😁.

Temos os seguintes dados:

Temos uma refinaria no ponto A e temos que construir um oleoduto até o ponto B . L vale 6 k m e D vale 10 k m .

Para construir um oleoduto na margem do rio, o custo é de R $   8 · 10 5 / k m , já sob o rio o custo é R $   10 · 1 0 5 / k m , ou seja, é mais barato construir na margem.

Passo 2

No item a) temos que elaborar uma equação que indique o custo de construção do oleoduto quando o valor de x poderá variar de 0 a 10 .

Com isso, o custo C x é dado por

C x = c u s t o   c o n s t .   n a   m a r g e m + c u s t o   c o n s t .   s o b   o   r i o

O custo de construção na margem ( C M x ) é mais simples pois é apenas uma linha reta

C M x = 8 · 10 5 · x

Já o custo de construção sob o rio ( C R x ) é um pouco diferente. Podemos analisar a distância entre P e B como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo

C R x = 10 · 1 0 5 L 2 + D - x 2

C R x = 10 · 1 0 5 6 2 + 10 - x 2

C R x = 10 · 1 0 5 x 2 - 20 x + 136

Logo C x será.

C x = C M x + C R x

C x = 8 · 10 5 · x + 10 · 10 5 x 2 - 20 x + 136

Passo 3

No item b) para determinar os pontos críticos de uma função, temos que deriva-la e iguala-la a 0 .

A derivada da soma é a soma das derivadas, então

d d x C x = d d x 8 · 10 5 · x + d d x 10 · 1 0 5 x 2 - 20 x + 136

A primeira é simples

d d x 8 · 10 5 · x = 8 · 10 5

A segunda é mais complicada

d d x 10 · 1 0 5 x 2 - 20 x + 136 = 10 · 1 0 5 d d x x 2 - 20 x + 136

Aplicando a regra da cadeia, considerando g x = x 2 - 20 x + 136

d d x x 2 - 20 x + 136 = d d g x g x · d d x x 2 - 20 x + 136

d d x x 2 - 20 x + 136 = 1 2 g x · 2 x - 20

d d x x 2 - 20 x + 136 = 2 x - 20 2 x 2 - 20 x + 136

d d x 10 · 1 0 5 x 2 - 20 x + 136 = 10 · 1 0 5 · 2 x - 20 2 x 2 - 20 x + 136

Juntando tudo novamente, temos

d d x C x = 8 · 10 5 + 10 · 1 0 5 · 2 x - 20 2 x 2 - 20 x + 136

d d x C x = 8 · 10 5 + 5 · 1 0 5 · 2 x - 20 x 2 - 20 x + 136

Para encontrar os pontos críticos vamos igualar essa equação a 0 .

8 · 10 5 + 5 · 1 0 5 · 2 x - 20 x 2 - 20 x + 136 = 0

8 · 10 5 + 5 · 1 0 5 · 2 x - 20 x 2 - 20 x + 136 x 2 - 20 x + 136 = 0 · x 2 - 20 x + 136

8 · 10 5 x 2 - 20 x + 136 + 5 · 1 0 5 2 x - 20 = 0

8 · 10 5 x 2 - 20 x + 136 2 = - 5 · 1 0 5 2 x - 20 2

64 · 10 10 x 2 - 20 x + 136 = 25 · 10 10 4 x 2 - 80 x + 400

64 · 10 10 x 2 - 20 x + 136 / 10 10 = 25 · 10 10 4 x 2 - 80 x + 400 / 10 10

64 x 2 - 20 x + 136 = 25 4 x 2 - 80 x + 400

64 x 2 - 1280 x + 8704 = 100 x 2 - 2000 x + 10000

36 x 2 - 720 x + 1296 = 0

As raízes de 36 x 2 - 720 x + 1296 = 0 são x = 2   e   x = 18 , portanto esses são os pontos críticos da função C x .

Passo 4

Por fim, no item c), temos que determinar o valor de x que faz com que o custo de construção do oleoduto seja o menor possível.

Calculamos os pontos críticos no item b) e encontramos os pontos críticos x = 2 e x = 18 , com isso, o menor valor do custo de construção só pode ser quando x = 2 , já que x = 18 vai além da distância D = 10 k m . Com o valor de x encontrado, o custo será

C 2 = 8 · 10 5 · 2 + 10 · 1 0 5 2   2 - 20 2 + 136

C 2 = R $   11,6 · 10 6

Podemos ver isso graficamente plotando a função C x no intervalo de 0 a 10

Muito legal né? Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A) C x = 8 · 10 5 · x + 10 · 10 5 x 2 - 20 x + 136

B) x = 2   e   x = 18

C) x = 2 , C 2 = R $   11,6 · 10 6

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