UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 17
Mostre que dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que provemos que dentre todos os retângulos com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.
Para isso, temos que saber que a área de um retângulo de lados e é dada por:
E, por outro lado, o perímetro desse retângulo é (já isolando uma variável):
Assim, substituindo na expressão da área, obteremos a seguinte função:
Dessa forma, temos que encontrar o valor da área máxima (pois veja que a função acima descreve uma parábola com concavidade voltada para baixo).
Em outras palavras, devemos derivar a função e igualar a zero para encontrar os valores das variáveis para a maior área possível!
E aí, bora lá??
😉
Passo 2
Então... derivando a função e igualando a zero, temos:
Substituindo na equação do perímetro, podemos encontrar o valor de :
Perceba que:
Ou seja, trata-se de um retângulo com lados iguais!!! Ou seeeja, um quadrado!!!
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Resposta nos passos