Teoria

Quando a gente faz uma análise a gente pega uma amostra para obter informações de uma coisa muito maior, de uma população ou universo e a nossa amostra é a única fonte de informações sobre essa população!

Logo é muito muito muito importante que essa amostra represente bem o todo, certo?!

É disso que a gente vai falar hoje!!

Amostra representativa

Esse é um dos passos mais importantes de toda a análise, afinal se a amostra não for coerente com a população então os resultados não são confiáveis.

Esse problema parece bem simples quando pensamos em uma amostra de um líquido homogênio, mas a complexidade aumenta para uma mistura heterogênia e ainda mais para um sólido, como é o exemplo dos minérios.

Podemos dizer que a amostragem é dividida em três etapas:

Identificar a população é a parte mais simples aqui, afinal a população é o objeto de interesse!

Chamamos de amostra bruta uma amostra composta por várias unidades de amostragem ou incrementos de amostragem, que são como mini amostras aleatórias de diferentes partes do todo.

A etapa de coletar uma amostra bruta pode ser desafiadora, dependendo do material com o qual estamos lidando!

Após essa coleta é importante adequar essa amostra para realizar as análises, de modo que a gente tenha uma pequana amostra a homogênia.

Dimensão da amostra bruta

Quanto mais incrementos de amostragem comporem a amostra bruta melhor ela vai representar a população, mas por outro lado não parece muito conveniênte ter uma amostra bruta de uma tonelada, concorda? Hahah

Então devemos tolerar um nível de incerteza e a amostra bruta deve pesar apenas o suficiente para nos dar uma resposta nesse nível de incerteza. O tamanho da amostra bruta também vai aumentar de acordo com sua heterogeneidade.

Como geralmente estamos lidando com algum nível de heterogeneidade, é mais interessante dimensionar a amostra bruta de acordo com o número de partículas N .

Para uma amostra composta por partículas A e B , se p for a probabilidade de se retirar aleatóriamente a partícula A , então o desvio padrão σ A do número de partículas do tipo A retiradas é:

σ A = N p ( 1 - p )    

Podemos também escrever o desvio padrão relativo σ r :

σ r = σ A N p = 1 - p N p

Mas se quisermos determinar o número de partículas para um desvio padrão escolhido, podemos fazer:

N = 1 - p p σ r 2

Amostragem de soluções homogênias de líquidos e gases

Em uma solução homogênia a amostra bruta pode ser bem menor que em sólidos, já que aqui a heterogeneidade esta em nível molecular e um pequeno volume de líquido tem um grande número de partículas!

Para garantir que a solução estaja homogênia a gente pode dar uma sacodida logo antes da amostragem! Mas nem sempre isso é possível, então são retiradas várias pequenas amostras que posteriormente são misturadas em um agitador!

Agora bora exercitar o que a gente terminou de aprender!!??

Dimensão da amostra bruta

Amostragem de soluções homogênias de líquidos e gases

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Descreva as etapas envolvidas na operação de amostragem.

Passo 1

O objetivo da amostragem é obter uma amostra mais representativa possível da população ou universo. Para isso existem 3 etapas!!

Etapa 1: Identificar a população

Essa é a etapa mais direta, se queremos analizar a concentração de cloro em uma piscina, então a população é a água contida na piscina!

Etapa 2: Coletar uma amostra bruta

No exemplo da psicina se consideramos que o cloro forma uma solução com a água e portanto a concentração é uniforme em toda a piscina, então só temos que pegar um pouco da água e pronto!

Mas e se o que estivermos querendo determinar é a composição de uma amostra sólida e heterogênia?!

Nesse caso a amostra deve ser composta de um conjunto de pequenas partes tiradas de vários locais do material!

Etapa 3: Redução da amostra bruta

Nessa etapa a amostra bruta retirada da população deve ser reduzida a uma pequena quantidade de material homogênio que para ser analisado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Qual a função da etapa de amostragem em uma análise?

Passo 1

A etapa de amostragem é uma das etapas mais difíceis que envolve a análise e onde tem a maior fonte de erros. Isso porque a função da amostragem é garantir que a amostra é uma boa representação do todo, para obtermos um valor médio da amostra x - que seja uma estimativa para a média da população μ !

Para isso a amostra deve ser aleatória, o que não significa que a amostra seja escolhida de uma forma casual, para cada situação é importante criar um sistema para garantir essa aleatoriedade!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Na determinação de chumbo em uma amostra de pintura, sabe-se que a variância

da amostra é de 10 ppm e a da medida é de 4 ppm. Dois esquemas de amostragem estão

sendo considerados:

Esquema a: Tome cinco incrementos da amostra e misture-os. Realize uma análise

em duplicata da amostra composta.

Esquema b: Tome três incrementos da amostra e realize uma análise em duplicata

de cada um deles.

Que esquema de amostragem, se existir algum, deve ter a menor variância em relação à média?

Passo 1

Queremos determinar qual esquema vai ter a menor variância e consequentemente vai ser o mais eficiênte.

Para isso vamos primeiro refrescar a memória e lembrar o que é variância:

s 2 = ∑ i = 1 N x i - x - 2 N - 1

A variância é inversamente proporcional a N , que é o número de medidas.

Então resolvemos o problema, né? Melzinho na chupeta! No esquema A teremos duas medidas e no esquema B teremos 6 medidas, logo o esquema B terá a menor variância, certo?!

ERRADO!!

A variância é uma medida de dispersão, ou seja mostra o quanto uma medida esta próxima da média. Então pensa comigo, em qual situação o conjunto de resultados vai ser mais preciso?

Uma duplicata realizada a partir de uma amostra homogênia ou três duplicatas de três incrementos diferentes que podem ser heterogênios?

Isso mesmo!! Os resultados a partir de uma amostra que foi misturada vão tender a ser mais próximos da média.

Portanto o esquema A deve ter menor variância com relação a média!

Resposta

Esquema A.

Exercício Resolvido #4

Acredita-se que aproximadamente 15 % das partículas contidas em um carregamento de

um minério de prata são de argentinita, A g S 2 ( d = 7,3   g   c m - 3 ,   87 %     e m   A g ) ; o restante é silício ( d = 2 ,   5   g   c m - 3 ) e essencialmente não contém prata.

(a) Calcule o número de partículas que deve ser tomado para a amostra bruta se for

esperado que o desvio relativo devido à amostragem seja de 1% ou menos.

(b) Estime a massa da amostra bruta considerando que as partículas sejam esféricas

e tenham um diâmetro médio de 4,0 mm.

(c) A amostra tomada para a análise deve pesar 0,600 g e deve conter o mesmo número

de partículas que a amostra bruta. Que diâmetro devem ter as partículas para satisfazer estes critérios?

Passo 1

A gente vai tirar uma amostra bruta de um material heterogêneo, minério de prata e a primeira coisa que queremos saber é o número de partículas que devemos ter para que o desvio padrão relativo da amostragem seja de no máximo 1 % .

Para isso usamos a expressão:

N = 1 - p p σ r 2

Onde N é o número de partículas, p a probabilidade de encontramos aleatóriamente a particula de interesse e σ r o desvio padrão relativo.

Se a particula de interesse for a argenita, o enunciado diz que 15 % do minério é composto por ela, logo a p = 0,15 , substituindo:

N = 1 - 0,15 0,15 × 0,01 2 = 56.666,66

Ou:

N = 56.667   p a r t í c u l a s

Passo 2

Mas não é muito viável ficar contando 56.667 partículas, certo?! Então vamos calcular a massa dessa amostra!

Se as partículas são uniformes com D = 4   m m ou r = 0,2   c m , podemos calcular o volume da amostra:

V = N × 4 3 π r 3

Substituindo e calculando:

V = 56.667   × 4 3 π × 0,2 3

V = 1899     c m 3

Para calcular a massa fazemos:

m = d × V

Mas a amostra é heterogênia, com 15 % de A g S 2 e 85 %   de S i então podemos fazer:

m = 0,15   d A g S 2 × V + 0,85   ( d S i × V )

Sabendo que d A g S 2 = 7,3   g / c m 3 e d S i = 2,5   g / c m 3 , então:

m = 0,15   7,3 g c m 3 × 1899     c m 3 + 0,85   2,5 g c m 3 × 1899     c m 3

Calculando achamos:

m = 6114,78   g

Passo 3

Pra acabar, a gente quer saber qual é o diâmetro que as partículas devem ter para que uma massa de 0,600   g tenha o mesmo número de partículas que a amostra bruta!

Para isso vamos usar a expressão que usamos no passo anterior:

m = 0,15   d A g S 2 × V + 0,85   ( d S i × V )

Substituindo a fórmula de volume:

m = 0,15   d A g S 2 × N 4 3 π r 3 + 0,85   d S i × N 4 3 π r 3

Vamos dar uma arrumadinha:

m = N 4 3 π r 3 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i

Isolando o raio:

r 3 = m 4 3 N π 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i

Mas queremos o diâmetro, então:

D 2 3 = m 4 3 N π 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i

E ficamos com:

D = m 4 3 N π 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i 3

Substituindo os dados, lembrando que agora a massa é de 0,600   g :

D = 0,600 4 3 × 56.667 π 0,15 × 7,3 + 0,85 × 2,5 3

Calculando:

D = 9,22 × 10 - 3   c m 3

Uhuuul, gostei de ver!!!!

Resposta

  1. N = 56.667   p a r t í c u l a s  
  2. m = 6114,78   g
  3. D = 9,22 × 10 - 3   c m 3

Exercício Resolvido #5

O vendedor de uma lavra de mineração tomou uma amostra do minério que pesava

5,0 kg e que tinha um diâmetro médio de partícula de 5,0 mm. Uma inspeção revelou

que cerca de 1% da amostra era de argentinita A g S 2 ( d = 7,3   g   c m - 3 ,   87 %     e m   A g ) ; e o restante tinha uma densidade de cerca de 2,6   g   / c m 3   e não continha prata. O potencial comprador insistiu em saber o conteúdo em prata da lavra com um erro relativo não superior a 5%. O vendedor forneceu uma amostra suficientemente grande para permitir essa avaliação?

Passo 1

Vamos ajudar o comprador descobrir se a amostra foi ou não suficiente!!

Primeiro de tudo, vamos calcular o número de partículas que uma amostra deve ter para esse desvio padrão:

N = 1 - p p σ r 2

Sabendo que a probabilidade de encontrar prata é de 1 % ou 0,01 , temos:

N = 1 - 0,01 0,01 × 0,05 2 = 396 00

Passo 2

Para achar a massa desse número de partículas, precisamos calcular seu volume:

V = N × 4 3 π r 3

Se o raio das partículas é 0,25   c m , então:

V = 39600   × 4 3 π × 0,2 5 3 = 2591,8   c m 3

Passo 3

Mas existem duas partículas com densidades diferentes, 1% de argenita e 99 % de outro material, então fazemos:

m = 0,01 d A g S 2 V + 0,99 ( d o V )

Substituindo:

m = 0 , 01 7,3 × 2591,8 + 0 , 99 2,6 × 2591,8

Calculando:

m = 6912 , 3   g

Ou:

m = 6,91   k g

Mas a amostra era de 5 k g , logo a amostra não é suficiente!!

Resposta

A amostra não tem tamanho suficiente.

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