Considere um ponto material onde é conhecido um estado plano de tensões (EPT) genérico (com componentes
e
). Defina um novo sistema de coordenadas (denotado
), rotacionado de um ângulo genérico
, medido no sentido anti-horário a partir do eixo de coordenadas fixo (original)
. Pela construção de um pequeno elemento de volume em torno desse ponto, realize um corte segundo as direções Cartesianas do sistema gerado (
) e obtenha as componentes do estado de tensões nesse novo sistema (
e
).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto material com um estado plano de tensões, ou seja, sabemos as componentes das tensões nas direções originais (
,
e
). A parada é que queremos mudar o sistema de coordenadas, girando ele um ângulo
no sentido anti-horário, e descobrir como ficam as componentes das tensões nesse novo sistema (
,
e
). Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de rotação de tensões, que envolvem trigonometria e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a rotação de coordenadas afeta as componentes das tensões. Quando giramos o sistema de coordenadas em um ângulo
, as novas componentes das tensões (
) podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
Essas fórmulas vêm da matemática de rotação de tensores, onde usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para ajustar as componentes das tensões ao novo sistema de coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Basta substituir
e as componentes originais das tensões nas equações acima. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Por fim, calculamos
:
Resposta
As componentes do estado de tensões no novo sistema de coordenadas rotacionado são: