Considere um ponto material onde é conhecido um estado plano de tensões (EPT) genérico (com componentes T11, T12=T21 e T22 ). Defina um novo sistema de coordenadas (denotado x1 ^prime-x2 ^prime ), rotacionado de um ângulo genérico theta, medido no sentido anti-horário a partir do eixo de coordenadas fixo (original) x1. Pela construção de um pequeno elemento de volume em torno desse ponto, realize um corte segundo as direções Cartesianas do sistema gerado ( x1 ^prime-x2^prime ) e obtenha as componentes do estado de tensões nesse novo sistema ( T^prime 11 T^prime 12=T^prime 21 e T^prime 22 ).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto material com um estado plano de tensões, ou seja, sabemos as componentes das tensões nas direções originais ( T11, T12=T21 e T22). A parada é que queremos mudar o sistema de coordenadas, girando ele um ângulo theta no sentido anti-horário, e descobrir como ficam as componentes das tensões nesse novo sistema ( T'11, T'12=T'21 e T'22). Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de rotação de tensões, que envolvem trigonometria e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a rotação de coordenadas afeta as componentes das tensões. Quando giramos o sistema de coordenadas em um ângulo theta, as novas componentes das tensões ( T'ij) podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
T'11 = T11 cos^2theta + T22 sin^2theta + 2T12 sintheta costheta
T'22 = T11 sin^2theta + T22 cos^2theta - 2T12 sintheta costheta
T'12 = (T22 - T11) sintheta costheta + T12 (cos^2theta - sin^2theta)
Essas fórmulas vêm da matemática de rotação de tensores, onde usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para ajustar as componentes das tensões ao novo sistema de coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Basta substituir theta e as componentes originais das tensões nas equações acima. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, calculamos T'11:
T'11 = T11 cos^2theta + T22 sin^2theta + 2T12 sintheta costheta
Depois, calculamos T'22:
T'22 = T11 sin^2theta + T22 cos^2theta - 2T12 sintheta costheta
Por fim, calculamos T'12:
T'12 = (T22 - T11) sintheta costheta + T12 (cos^2theta - sin^2theta)

Resposta

As componentes do estado de tensões no novo sistema de coordenadas rotacionado são:
T'11 = T11 cos^2theta + T22 sin^2theta + 2T12 sintheta costheta
T'22 = T11 sin^2theta + T22 cos^2theta - 2T12 sintheta costheta
T'12 = (T22 - T11) sintheta costheta + T12 (cos^2theta - sin^2theta)

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