Mostre todos os passos que mostram que a solução do problema de busca das tensões principais recai na solução de um problema de autovalores/autovetores?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar passo a passo como encontrar as tensões principais está relacionado a resolver um problema de autovalores e autovetores. Basicamente, estamos trabalhando com mecânica dos sólidos, especificamente com o estudo das tensões em um ponto de um material. Para resolver isso, vamos precisar entender como as tensões se transformam e como elas se relacionam com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um ponto de um material, as tensões podem ser representadas por uma matriz de tensões
. Essa matriz geralmente tem a forma:
Onde
,
são tensões normais e
,
são tensões de cisalhamento. Como
(pela lei de equilíbrio), a matriz é simétrica.
Passo 3
As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas onde não há tensão de cisalhamento. Matematicamente, isso significa que queremos encontrar direções onde a matriz de tensões
atua de forma que não haja componente de cisalhamento.
Passo 4
Para encontrar essas direções, buscamos autovetores da matriz
. Um autovetor
associado a um autovalor
satisfaz a equação:
Isso significa que, ao aplicar a matriz de tensões em
, o resultado é o vetor
escalado pelo fator
.
Passo 5
Para resolver para
, precisamos resolver o polinômio característico da matriz
. Isso é feito subtraindo
da diagonal da matriz e calculando o determinante igual a zero:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 6
Calculando o determinante, temos:
Isso nos leva a uma equação quadrática em
que podemos resolver para encontrar os autovalores.
Passo 7
Os autovalores
e
encontrados são exatamente as tensões principais
e
. Cada autovalor corresponde a uma direção específica (autovetor) onde a tensão é máxima ou mínima.
Passo 8
Para encontrar os autovetores correspondentes a cada
, substituímos cada autovalor na equação
e resolvemos para
. Esses vetores indicam as direções principais onde as tensões
e
atuam.
Resposta
Assim, mostramos que encontrar as tensões principais envolve resolver um problema de autovalores e autovetores da matriz de tensões, onde os autovalores são as tensões principais e os autovetores são as direções dessas tensões.