Dado o campo vetorial de deslocamentos , fornecido abaixo, represente o processo de deformação obtendo as posições finais do ponto-base material P (descrito pelo vetor posição ) e de 4 pontos no entorno do mesmo. Utilize um fator de escala para visualizar os deslocamentos dos pontos extremos dos filamentos e S T. Adote as dimensões De. DICA: Para facilitar, use um papel quadriculado. Campo de deslocamentos: u=u(x)=u(x1, x2)=lu1(x1, x2) u2(x1, x2)=c2+x1+x2^2 1-x2^2-x1^2 10^-3 m Ponto P: xo=l1, 2, m. Ponto Q: xQ=xo+c-De Ponto R: xR=xo+cDe. Ponto S: xS=xo+c0 -De Ponto T: xT=xo+c0 De.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos um campo de deslocamentos que nos mostra como cada ponto numa estrutura se move quando ela deforma. Nosso trabalho é calcular as novas posições de um ponto base chamado P e de quatro pontos ao redor dele (Q, R, S, T) depois dessa deformação. Para isso, vamos usar as dimensões dadas e aplicar o campo de deslocamento em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as posições originais dos pontos:
Ponto P: 1 2 metros
Ponto Q: -De metros
Ponto R: 1 - 0.001 2 metros
Ponto S: 0.999 2 metros
Ponto T: De metros
Onde 1 + 0.001 2 metros.
Passo 3
Agora, vamos entender o campo de deslocamentos u(x) = u1(x1, x2) u2(x1, x2) = 2 + x1 + x2^2 1 - x2^2 - x1^2 times 10^-3 m :
Isso significa que, para cada ponto com coordenadas , o deslocamento na direção é e na direção é . Vamos calcular esses deslocamentos para cada ponto.
Passo 4
Vamos calcular o deslocamento para o Ponto P u1(P) = (2 + 1 + 2^2) times 10^-3 = (2 + 1 + 4) times 10^-3 = 7 times 10^-3 m :
u2(P) = (1 - 2^2 - 1^2) times 10^-3 = (1 - 4 - 1) times 10^-3 = -4 times 10^-3 m
u(P) = 7 times 10^-3 -4 times 10^-3 m
Então, o deslocamento de P é:
Passo 5
Agora, vamos calcular os deslocamentos dos outros pontos.
Ponto Q u1(Q) = (2 + 0.999 + 2^2) times 10^-3 = (2 + 0.999 + 4) times 10^-3 = 6.999 times 10^-3 m :
u2(Q) = (1 - 2^2 - 0.999^2) times 10^-3 = (1 - 4 - 0.998001) times 10^-3 = -3.998001 times 10^-3 m
u(Q) = 6.999 times 10^-3 -3.998001 times 10^-3 m
u1(R) = (2 + 1.001 + 2^2) times 10^-3 = (2 + 1.001 + 4) times 10^-3 = 7.001 times 10^-3 m
Ponto R u2(R) = (1 - 2^2 - 1.001^2) times 10^-3 = (1 - 4 - 1.002001) times 10^-3 = -4.002001 times 10^-3 m :
u(R) = 7.001 times 10^-3 -4.002001 times 10^-3 m
u1(S) = (2 + 1 + 1.999^2) times 10^-3 = (2 + 1 + 3.996001) times 10^-3 = 6.996001 times 10^-3 m
u2(S) = (1 - 1.999^2 - 1^2) times 10^-3 = (1 - 3.996001 - 1) times 10^-3 = -3.996001 times 10^-3 m
Ponto S u(S) = 6.996001 times 10^-3 -3.996001 times 10^-3 m :
u1(T) = (2 + 1 + 2.001^2) times 10^-3 = (2 + 1 + 4.004001) times 10^-3 = 7.004001 times 10^-3 m
u2(T) = (1 - 2.001^2 - 1^2) times 10^-3 = (1 - 4.004001 - 1) times 10^-3 = -4.004001 times 10^-3 m
u(T) = 7.004001 times 10^-3 -4.004001 times 10^-3 m
Ponto T:
Passo 6
Agora, vamos aplicar um fator de escala para visualizar melhor os deslocamentos dos pontos extremos dos filamentos e . Vamos escolher um fator de escala . Para facilitar a visualização, vamos assumir (já que os deslocamentos estão em ordem de metros, que é fácil de visualizar no papel quadriculado).
Passo 7
Finalmente, vamos calcular as posições finais dos pontos adicionando os deslocamentos às posições originais:
xf = xoriginal + u(x)
Vamos fazer isso para cada ponto.
Resposta
As posições finais dos pontos após a deformação são:
Ponto P:
xf(P) = 1 2 + 7 times 10^-3 -4 times 10^-3 = 1.007 m 1.996 m
Ponto Q:
xf(Q) = 0.999 2 + 6.999 times 10^-3 -3.998001 times 10^-3 = 1.005 m 1.996002 m
Ponto R:
xf(R) = 1.001 2 + 7.001 times 10^-3 -4.002001 times 10^-3 = 1.008001 m 1.995997999 m
Ponto S:
xf(S) = 1 1.999 + 6.996001 times 10^-3 -3.996001 times 10^-3 = 1.006996001 m 1.995003999 m
Ponto T:
xf(T) = 1 2.001 + 7.004001 times 10^-3 -4.004001 times 10^-3 = 1.007004001 m 1.996995999 m
Então, após a deformação, os pontos P, Q, R, S e T estão nas posições finais mostradas acima.