Sejam o estado de tensões T e as direções normais N, fornecidos a seguir. Para esses problemas, rascunhe as soluções e obtenha:
a. Vetor tensão atuante na face definida pela direção N;
b. intensidade da tensão normal à face;
c. intensidade da tensão cisalhante à essa face;
d. vetor tensão normal à face;
e. vetor tensão cisalhante à face.
T=[rrr -20, & -60, & 40, -60, & 60, & 15, 40, & 15, & 40, ] MPa
15.1) Direção: N=-0,8272,-0,4282,0,3637^top;
15.2) Direção: N=0,2514,0,2968,0,9213^T;
15.3) Direção: N=0,5025,-0,8535,0,1379^top.
Interprete e discuta a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com um tensor de tensão e direções normais . O conteúdo que vamos usar aqui é de Mecânica dos Solos, mais especificamente Tensor de Tensão e suas Propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar um tensor de tensão por um vetor normal para encontrar o vetor tensão atuante na face definida por . Além disso, vamos decompor esse vetor tensão em suas componentes normal e cisalhante.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte 15.1 do exercício, que tem a direção normal:
N = -0,8272 -0,4282 0,3637
O tensor de tensão T = -20 & -60 & 40 -60 & 60 & 15 40 & 15 & 40 MPa é dado por:
Para encontrar o vetor tensão atuante na face, usamos a multiplicação matricial .

Passo 3

Vamos calcular essa multiplicação passo a passo:
sigma = T cdot N = -20 times (-0,8272) + (-60) times (-0,4282) + 40 times 0,3637 -60 times (-0,8272) + 60 times (-0,4282) + 15 times 0,3637 40 times (-0,8272) + 15 times (-0,4282) + 40 times 0,3637
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
(-20) times (-0,8272) = 16,544 (-60) times (-0,4282) = 25,692 40 times 0,3637 = 14,548 Somando: 16,544 + 25,692 + 14,548 = 56,784 MPa
  1. Segunda componente:
(-60) times (-0,8272) = 49,632 60 times (-0,4282) = -25,692 15 times 0,3637 = 5,4555 Somando: 49,632 - 25,692 + 5,4555 = 29,3955 MPa
  1. Terceira componente:
40 times (-0,8272) = -33,088 15 times (-0,4282) = -6,423 40 times 0,3637 = 14,548 Somando: -33,088 - 6,423 + 14,548 = -24,963 MPa
Portanto,
sigma = 56,784 29,3955 -24,963 MPa

Passo 4

Agora, vamos à letra b, que pede a intensidade da tensão normal à face. Essa intensidade é dada pelo produto escalar entre sigman = sigma cdot N e sigman = (56,784) times (-0,8272) + (29,3955) times (-0,4282) + (-24,963) times 0,3637 :
56,784 times (-0,8272) = -47,012 29,3955 times (-0,4282) = -12,589 -24,963 times 0,3637 = -9,082 Somando: -47,012 - 12,589 - 9,082 = -68,683 MPa
Vamos calcular:
Calculando cada termo:
A intensidade da tensão normal à face é MPa.

Passo 5

Para a letra c, queremos a intensidade da tensão cisalhante à face. Sabemos que a tensão total pode ser decomposta em normal e cisalhante, então usamos o teorema de Pitágoras:
sigmacis = raiz|sigma|^2 - sigman^2
Primeiro, calculamos o módulo de |sigma| = raiz(56,784)^2 + (29,3955)^2 + (-24,963)^2 approx raiz3227,3 + 864,0 + 623,1 approx raiz4614,4 approx 67,9 MPa :
sigmacis = raiz(67,9)^2 - (-68,683)^2 = raiz4605,2 - 4704,9 = raiz-99,7
Agora, calculamos:
Ops! Obtemos um número negativo dentro da raiz, o que não é possível. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.

Passo 6

Revisando os cálculos na letra b:
sigman = (56,784) times (-0,8272) + (29,3955) times (-0,4282) + (-24,963) times 0,3637 = -47,012 - 12,589 - 9,082 = -68,683 MPa
E o módulo de |sigma| = raiz56,784^2 + 29,3955^2 + (-24,963)^2 approx raiz3226,3 + 864,0 + 623,1 approx raiz4613,4 approx 67,9 MPa :
(-20) times (-0,8272) = 16,544 (-60) times (-0,4282) = 25,692 40 times 0,3637 = 14,548 Somando: 16,544 + 25,692 + 14,548 = 56,784 MPa
Percebemos que (-60) times (-0,8272) = 49,632 60 times (-0,4282) = -25,692 15 times 0,3637 = 5,4555 Somando: 49,632 - 25,692 + 5,4555 = 29,3955 MPa , o que não faz sentido fisicamente, já que a tensão normal não pode ser maior que o módulo total da tensão. Isso sugere que houve um erro na multiplicação.
Vamos recalcular 40 times (-0,8272) = -33,088 15 times (-0,4282) = -6,423 40 times 0,3637 = 14,548 Somando: -33,088 - 6,423 + 14,548 = -24,963 MPa :
  1. Primeira componente:
sigmacis = raiz|sigma|^2 - sigman^2 = raiz(56,784)^2 + (29,3955)^2 + (-24,963)^2 - (-68,683)^2
  1. Segunda componente:
|sigma|^2 = 3227,3 + 864,0 + 623,1 = 4614,4 sigman^2 = 4704,9 sigmacis = raiz4614,4 - 4704,9 = raiz-90,5
  1. Terceira componente:
Tudo certo até aqui. Parece que a decomposição requer outro método. Vamos usar a fórmula direta para a tensão cisalhante:
Calculando:
Ainda temos um número negativo! Isso nos mostra que a decomposição não está correta. O erro está na interpretação inicial. Na verdade, o produto já nos dá a tensão normal, e a tensão cisalhante pode ser encontrada pela diferença vetorial.

Passo 7

Vamos corrigir isso! A tensão cisalhante é o vetor tensão menos a componente normal. Ou seja:
tau = sigma - sigman N
Primeiro, calculamos sigman N = -68,683 times -0,8272 -0,4282 0,3637 = 56,784 29,3955 -24,963 MPa :
tau = 56,784 29,3955 -24,963 - 56,784 29,3955 -24,963 = 0 0 0 MPa
Portanto,
Isso significa que não há componente cisalhante, o que faz sentido já que todo o vetor tensão está alinhado com o vetor normal.
A intensidade da tensão cisalhante é MPa.

Passo 8

Agora, para a letra d, queremos o vetor tensão normal à face. Como vimos, ele é dado por sigman = sigman N = -68,683 times -0,8272 -0,4282 0,3637 = 56,784 29,3955 -24,963 MPa :

Passo 9

Por fim, para a letra e, o vetor tensão cisalhante à face é 0 0 0 MPa, ou seja, não há cisalhamento nessa face específica.

Resposta

Para a direção normal -0,8272 -0,4282 0,3637 :
a. O vetor tensão atuante na face é 56,784 29,3955 -24,963 MPa.
b. A intensidade da tensão normal à face é 56,784 29,3955 -24,963 MPa.
c. A intensidade da tensão cisalhante à face é 0 0 0 MPa.
d. O vetor tensão normal à face é MPa.
e. O vetor tensão cisalhante à face é MPa.

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