a) Obtenha o vetor diferença de deslocamentos desses dois pontos (denotado
) utilizando o conceito de expansão em série de Taylor. Rascunhe graficamente a resposta;
b) caracterize a matriz gradiente de deslocamentos (aqui denotada
) explicando porque possui esse nome;
c) decomponha a matriz gradiente de deslocamentos em suas parcelas simétrica (denotada
) e antissimétrica (denotada
).
b) caracterize a matriz gradiente de deslocamentos (aqui denotada
c) decomponha a matriz gradiente de deslocamentos em suas parcelas simétrica (denotada
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve vetores de deslocamento e matrizes gradiente, usando a expansão em série de Taylor. Vamos precisar entender como usar a série de Taylor para encontrar a diferença de deslocamentos entre dois pontos, entender o que é a matriz gradiente de deslocamentos e como decompor essa matriz em partes simétrica e antissimétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos obter o vetor diferença de deslocamentos, chamado δu, usando a expansão em série de Taylor. A série de Taylor nos ajuda a aproximar funções locais ao redor de um ponto. Neste caso, vamos considerar dois pontos próximos em um campo de deslocamento.
A expansão de Taylor para o deslocamento u em torno de um ponto x₀ é:
Aqui, ∇u é a matriz gradiente de deslocamentos. A diferença de deslocamentos entre dois pontos, x₁ e x₂, fica:
Graficamente, isso representa um vetor que conecta os deslocamentos em x�� e x₂, mostrando como o deslocamento muda entre esses dois pontos.
Passo 3
Agora, vamos caracterizar a matriz gradiente de deslocamentos, denotada por ∇u. Essa matriz contém todas as derivadas parciais do vetor deslocamento em relação às coordenadas espaciais. Ou seja, cada elemento de ∇u é uma derivada ∂u_i/∂x_j.
O nome “gradiente de deslocamentos” vem do fato de que ela descreve como o deslocamento muda espacialmente, semelhante ao gradiente em cálculo que mostra como uma função varia em diferentes direções.
Matematicamente, se a dimensão for 2D, a matriz fica:
Passo 4
Por fim, vamos decompor a matriz gradiente de deslocamentos em suas partes simétrica e antissimétrica. Isso é útil porque cada parte tem um significado físico diferente: a simétrica está relacionada à deformação, enquanto a antissimétrica está relacionada à rotação.
A decomposição é feita da seguinte maneira:
Onde
é a transposta da matriz gradiente.
Resposta
a) O vetor diferença de deslocamentos δu é aproximadamente igual a ∇u multiplicado pela diferença de posição entre os dois pontos, ou seja:
b) A matriz gradiente de deslocamentos ∇u contém todas as derivadas parciais do deslocamento em relação às coordenadas espaciais, descrevendo como o deslocamento varia no espaço, daí o nome “gradiente de deslocamentos”.
c) A matriz gradiente de deslocamentos pode ser decomposta em uma parte simétrica ∇^S u e uma parte antissimétrica ∇^{AS} u da seguinte forma: