a. Mostre as equações que possibilitam a obtenção das 3 deformações no plano tangente ;
b. Obtenha a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento material na direção normal ao plano;
c. Mostre as equações (justificando) que possibilitam obter a matriz de tensões completa no ponto (matriz 3x3);
d. Como obter a matriz completa de tensões no ponto?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado das questões a serem resolvidas. Estamos trabalhando com deformações e tensões em um material, especificamente no contexto de um plano tangente . Precisaremos entender conceitos de deformação (ou strain) e tensão (ou stress) para resolver os itens a, b, c e d.
Passo 2
Item a: Mostraremos as equações que permitem obter as 3 deformações no plano tangente .
Para isso, precisamos conhecer os componentes do tensor de deformação no plano. Em um plano bidimensional, temos:
Deformação normal na direção :
Deformação normal na direção :
Deformação de cisalhamento:
Aqui, e são os deslocamentos nas direções e , respectivamente.
Passo 3
Item b: Vamos obter a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento material na direção normal ao plano.
A deformação longitudinal na direção (normal ao plano ) é dada por:
Onde é o deslocamento na direção .
Passo 4
Item c: Mostraremos as equações que possibilitam obter a matriz de tensões completa no ponto, ou seja, a matriz 3x3.
A matriz de tensões, ou tensor de tensões, em 3D é representada por:
Para determinar cada componente:
Tensões normais:
sigmaii = E cdot varepsilonii
Onde sigmaij = G cdot gammaij (i neq j) é o módulo de Young.
Tensões de cisalhamento:
Onde é o módulo de cisalhamento.
Justificativa: Utilizamos a relação entre tensões e deformações através dos módulos elásticos e para obter todos os componentes da matriz de tensões.
Passo 5
Item d: Agora, vamos explicar como obter a matriz completa de tensões no ponto.
Para obter a matriz completa de tensões no ponto:
Determinar as deformações () no ponto usando as equações de deformação.
Aplicar as relações constitutivas (como as de Hooke para materiais lineares) para relacionar deformações e tensões:
Para deformações normais:
Para deformações de cisalhamento:
Construir a matriz de tensões com todos os componentes obtidos.
Dessa forma, obtemos a matriz 3x3 completa de tensões no ponto.
Resposta
A matriz completa de tensões no ponto é obtida através das relações:
sigma = E cdot varepsilon11 & G cdot gamma12 & G cdot gamma13 G cdot gamma21 & E cdot varepsilon22 & G cdot gamma23 G cdot gamma31 & G cdot gamma32 & E cdot varepsilon33
onde é o módulo de Young e é o módulo de cisalhamento, e as deformações e são determinadas conforme os passos anteriores.