a. Mostre as equações que possibilitam a obtenção das 3 deformações no plano tangente (x1-x2);
b. Obtenha a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento material na direção normal ao plano;
c. Mostre as equações (justificando) que possibilitam obter a matriz de tensões completa no ponto (matriz 3x3);
d. Como obter a matriz completa de tensões no ponto?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado das questões a serem resolvidas. Estamos trabalhando com deformações e tensões em um material, especificamente no contexto de um plano tangente . Precisaremos entender conceitos de deformação (ou strain) e tensão (ou stress) para resolver os itens a, b, c e d.

Passo 2

Item a: Mostraremos as equações que permitem obter as 3 deformações no plano tangente .
Para isso, precisamos conhecer os componentes do tensor de deformação no plano. Em um plano bidimensional, temos:
  1. Deformação normal na direção :
  2. Deformação normal na direção :
  3. Deformação de cisalhamento:
Aqui, e são os deslocamentos nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Item b: Vamos obter a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento material na direção normal ao plano.
A deformação longitudinal na direção varepsilon33 = partial u3partial x3 (normal ao plano ) é dada por:
Onde é o deslocamento na direção .

Passo 4

Item c: Mostraremos as equações que possibilitam obter a matriz de tensões completa no ponto, ou seja, a matriz 3x3.
A matriz de tensões, ou tensor de tensões, em 3D é representada por:
sigma = sigma11 & sigma12 & sigma13 sigma21 & sigma22 & sigma23 sigma31 & sigma32 & sigma33
Para determinar cada componente:
  • Tensões normais:
    sigmaii = E cdot varepsilonii
    Onde sigmaij = G cdot gammaij (i neq j) é o módulo de Young.
  • Tensões de cisalhamento:
    Onde é o módulo de cisalhamento.
Justificativa: Utilizamos a relação entre tensões e deformações através dos módulos elásticos e para obter todos os componentes da matriz de tensões.

Passo 5

Item d: Agora, vamos explicar como obter a matriz completa de tensões no ponto.
Para obter a matriz completa de tensões no ponto:
  1. Determinar as deformações ( ) no ponto usando as equações de deformação.
  2. Aplicar as relações constitutivas (como as de Hooke para materiais lineares) para relacionar deformações e tensões:
    • Para deformações normais:
    • Para deformações de cisalhamento:
  3. Construir a matriz de tensões com todos os componentes obtidos.
Dessa forma, obtemos a matriz 3x3 completa de tensões no ponto.

Resposta

A matriz completa de tensões no ponto é obtida através das relações:
sigma = E cdot varepsilon11 & G cdot gamma12 & G cdot gamma13 G cdot gamma21 & E cdot varepsilon22 & G cdot gamma23 G cdot gamma31 & G cdot gamma32 & E cdot varepsilon33
onde é o módulo de Young e é o módulo de cisalhamento, e as deformações e são determinadas conforme os passos anteriores.

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