Tensão de ruptura por tração: sigma rup | tra =150, MPa.
Tensão de ruptura por compressão: sigma rup | comp =500, MPa.
Estados de tensões:
rlrl Ponto P1: & T & =[ccc -20, & -60, & 0, -60, & 60, & 0, 0, & 0, & 0, ] MPa & Ponto P2: T=[ccc -10, & 0, & 60, 0, & 0, & 0, 60, & 0, & 80, ] MPa Ponto P3: T & =[ccc 0, & 0, & 0, 0, & -110, & 0, 0, & 0, & 0, ] M P a & Ponto P4: T=[ccc 0, & 0, & 110, 0, & 0, & 0, 110, & 0, & 0, ] M P a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da tensão de ruptura em tração e compressão, e nos dá os estados de tensões em quatro pontos diferentes (P₁, P₂, P₃ e P₄). Nosso objetivo é verificar se, em cada um desses pontos, as tensões aplicadas podem causar ruptura no material, ou seja, se as tensões excedem os valores de ruptura fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tensão de ruptura. É a tensão máxima que um material pode suportar antes de sofrer falha. Temos duas situações:
  • Tração: Quando o material é esticado.
  • Compressão: Quando o material é comprimido.
Os valores dados são:
  • Tensão de ruptura por tração:
  • Tensão de ruptura por compressão:
Além disso, temos as matrizes de tensão em cada ponto, que representam as tensões aplicadas em diferentes direções.

Passo 3

Para verificar se ocorre ruptura, precisamos encontrar as tensões principais em cada ponto. As tensões principais são os valores máximos e mínimos de tensão que atuam no material, sem componentes de cisalhamento. Para isso, vamos calcular os autovalores das matrizes de tensão fornecidas.
A tensão principal pode ser encontrada resolvendo a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
onde é a matriz de tensão, são os autovalores (tensões principais) e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular as tensões principais para cada ponto:

Ponto P₁

T = -20 & -60 & 0 -60 & 60 & 0 0 & 0 & 0 MPa
Após calcular, encontramos as tensões principais:
sigma1 = 80, MPa, sigma2 = -80, MPa, sigma3 = 0, MPa
Comparando com os valores de ruptura:
  • T = -10 & 0 & 60 0 & 0 & 0 60 & 0 & 80 MPa (Não rompe por tração)
  • sigma1 approx 85.8, MPa, sigma2 approx -10, MPa, sigma3 approx 4.2, MPa (Não rompe por compressão)

Ponto P₂

T = 0 & 0 & 0 0 & -110 & 0 0 & 0 & 0 MPa
Após calcular, encontramos as tensões principais:
sigma1 = 0, MPa, sigma2 = -110, MPa, sigma3 = 0, MPa
Comparando com os valores de ruptura:
  • T = 0 & 0 & 110 0 & 0 & 0 110 & 0 & 0 MPa (Não rompe por tração)
  • sigma1 = 110, MPa, sigma2 = 0, MPa, sigma3 = -110, MPa (Não rompe por compressão)

Ponto P₃

As tensões principais são diretamente os elementos da matriz:
Comparando com os valores de ruptura:
  • (Não rompe por compressão)

Ponto P₄

Após calcular, encontramos as tensões principais:
Comparando com os valores de ruptura:
  • (Não rompe por tração)
  • (Não rompe por compressão)

Resposta

Em nenhum dos pontos (P₁, P₂, P₃ e P₄) as tensões aplicadas excedem os valores de ruptura por tração ou compressão. Portanto, não ocorre ruptura em nenhum desses pontos.

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