Tensão de ruptura por tração: .
Tensão de ruptura por compressão: .
Estados de tensões:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata da tensão de ruptura em tração e compressão, e nos dá os estados de tensões em quatro pontos diferentes (P₁, P₂, P₃ e P₄). Nosso objetivo é verificar se, em cada um desses pontos, as tensões aplicadas podem causar ruptura no material, ou seja, se as tensões excedem os valores de ruptura fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tensão de ruptura. É a tensão máxima que um material pode suportar antes de sofrer falha. Temos duas situações:
Tração: Quando o material é esticado.
Compressão: Quando o material é comprimido.
Os valores dados são:
Tensão de ruptura por tração:
Tensão de ruptura por compressão:
Além disso, temos as matrizes de tensão em cada ponto, que representam as tensões aplicadas em diferentes direções.
Passo 3
Para verificar se ocorre ruptura, precisamos encontrar as tensões principais em cada ponto. As tensões principais são os valores máximos e mínimos de tensão que atuam no material, sem componentes de cisalhamento. Para isso, vamos calcular os autovalores das matrizes de tensão fornecidas.
A tensão principal pode ser encontrada resolvendo a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
onde é a matriz de tensão, são os autovalores (tensões principais) e é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular as tensões principais para cada ponto:
As tensões principais são diretamente os elementos da matriz:
Comparando com os valores de ruptura:
(Não rompe por compressão)
Ponto P₄
Após calcular, encontramos as tensões principais:
Comparando com os valores de ruptura:
(Não rompe por tração)
(Não rompe por compressão)
Resposta
Em nenhum dos pontos (P₁, P₂, P₃ e P₄) as tensões aplicadas excedem os valores de ruptura por tração ou compressão. Portanto, não ocorre ruptura em nenhum desses pontos.