Aplica-se um torque a uma barra circular de diâmetro e mede-se a deformação normal máxima, , na superfície da barra. Deduzir uma fórmula para o módulo de elasticidade de cisalhamento, , em termos de , e .
Passo 1
Bom! Vamos lá!
Passo 2
Vamo começar esse liiindo tópico imaginando uma certa situação:
Imagina que eu tenho uma barra de ferro super resistente na vertical, e que eu sou loucasso e vou estacionar um carro em cima dela, assim ó:
Nós temos uma força muito grande (o peso do carro) sendo aplicada nessa barra... O que será que está acontecendo com nossa barrinha? Ela está aguentando o peso do carro, e pode até parecer que não está acontecendo nada, mas ela está sofrendo uma leve compressão.
Tipo assim:
Na prática, nesse caso essa compressão é muuuuito pequena e por isso não conseguimos enxergar a variação do comprimento, o nosso . Por que será que isso acontece? Isso tem a ver com a elasticidade dessa barra, e é isso que vim te explicar nesse tópico!
Beleza, mas o que significa essa parada de elasticidade?
Bom, o que sabemos é todos os corpos rígidos são ligeiramente elásticos, mas essa elasticidade varia de acordo com o material, o que significa que podemos mudar suas dimensões empurrando ou puxando esse objeto. Então podemos modificar as dimensões de um corpo aplicando uma tensão (que é essa força que puxa ou que empurra) nele. As tensões podem apresentar várias formas diferentes, sendo elas:
- Tração e Compressão
- Cisalhamento
- Tensão Hidrostática
Passo 3
Maaaaas a tensão em todo caso, sempre é proporcional à deformação e à uma constante de proporcionalidade, que chamamos de módulo de elasticidade. Show! Então sabemos que:
A deformação pode ser chamada da letrinha , então temos:
Passo 4
Chega cá, tá vendo ali que temos duas forças sendo aplicadas numa área transversal, esticando nosso cilindro? Elas estão fazendo uma tensão no nosso objeto, se liga:
No caso aí, temos duas tensões de tração agindo! Mas também poderiam ser tensões de compressão ou tensões de torção, que é o nosso foco aqui...
No caso da torção, em especial a constante que a gente tem que usar é outra. Já que nesse caso aí, temos a presença de cisalhamento. A nossa fórmula passa a ser dada por...
A torção é o tipo de tensão que ocorre quando é aplicado momento sobre o eixo longitudinal de um elemento construtivos ou prisma mecânico, como podem ser eixos ou, em geral, elementos onde uma dimensão predomina sobre as outras duas.
Passo 5
A nossa deformação então, é dada pela deformação dividida pelo comprimento inicial, tipo uma porcentagem, sacou? Como já vimos antes, também podemos chamar essa deformação de . Então:
E, substituindo na equação da proporcionalidade ali em cima, temos:
Multiplicamos por dois aí, porque estamos considerando torção em duas seções! Isolando ...
Como a nossa barra é circular, então a área da seção transversal que tem um diâmetro vale...
E então, substituindo ...
Obtemos a fórmula de para a barra circular!
Pronto! Feshow!