Aplica-se um torque T a uma barra circular de diâmetro d e mede-se a deformação normal máxima,   ε , na superfície da barra. Deduzir uma fórmula para o módulo de elasticidade de cisalhamento, G , em termos de T , d e   ε .

Passo 1

Bom! Vamos lá!

Passo 2

Vamo começar esse liiindo tópico imaginando uma certa situação:

Imagina que eu tenho uma barra de ferro super resistente na vertical, e que eu sou loucasso e vou estacionar um carro em cima dela, assim ó:

Nós temos uma força muito grande (o peso do carro) sendo aplicada nessa barra... O que será que está acontecendo com nossa barrinha? Ela está aguentando o peso do carro, e pode até parecer que não está acontecendo nada, mas ela está sofrendo uma leve compressão.

Tipo assim:

Na prática, nesse caso essa compressão é muuuuito pequena e por isso não conseguimos enxergar a variação do comprimento, o nosso ∆ L . Por que será que isso acontece? Isso tem a ver com a elasticidade dessa barra, e é isso que vim te explicar nesse tópico!

Beleza, mas o que significa essa parada de elasticidade?

Bom, o que sabemos é todos os corpos rígidos são ligeiramente elásticos, mas essa elasticidade varia de acordo com o material, o que significa que podemos mudar suas dimensões empurrando ou puxando esse objeto. Então podemos modificar as dimensões de um corpo aplicando uma tensão (que é essa força que puxa ou que empurra) nele. As tensões podem apresentar várias formas diferentes, sendo elas:

  • Tração e Compressão
  • Cisalhamento
  • Tensão Hidrostática

Passo 3

Maaaaas a tensão em todo caso, sempre é proporcional à deformação e à uma constante de proporcionalidade, que chamamos de módulo de elasticidade. Show! Então sabemos que:

t e n s ã o = d e f o r m a ç ã o   ×   m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e

A deformação pode ser chamada da letrinha ε , então temos:

t e n s ã o = ε   ×   m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e

Passo 4

Chega cá, tá vendo ali que temos duas forças sendo aplicadas numa área transversal, esticando nosso cilindro? Elas estão fazendo uma tensão no nosso objeto, se liga:

No caso aí, temos duas tensões de tração agindo! Mas também poderiam ser tensões de compressão ou tensões de torção, que é o nosso foco aqui...

No caso da torção, em especial a constante que a gente tem que usar é outra. Já que nesse caso aí, temos a presença de cisalhamento. A nossa fórmula passa a ser dada por...

t e n s ã o = d e f o r m a ç ã o   ×   m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e   d e   c i s a l h a m e n t o

A torção é o tipo de tensão que ocorre quando é aplicado momento sobre o eixo longitudinal de um elemento construtivos ou prisma mecânico, como podem ser eixos ou, em geral, elementos onde uma dimensão predomina sobre as outras duas.

Passo 5

A nossa deformação então, é dada pela deformação dividida pelo comprimento inicial, tipo uma porcentagem, sacou? Como já vimos antes, também podemos chamar essa deformação de ε . Então:

ε = ∆ L L                         T e n s ã o = T A

E, substituindo na equação da proporcionalidade ali em cima, temos:

t e n s ã o = d e f o r m a ç ã o ×   m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e   d e   c i s a l h a m e n t o

T e n s ã o = ε ∙ E

2 T A = ε G

Multiplicamos por dois aí, porque estamos considerando torção em duas seções! Isolando G ...

G = 2 T ε A

Como a nossa barra é circular, então a área da seção transversal que tem um diâmetro d vale...

A = π d 2 2

A = π d 2 4

E então, substituindo A ...

G = 2 T ε A

G = 8 T π ε d 2

Obtemos a fórmula de G para a barra circular!

Pronto! Feshow!

Resposta

G = 8 T π ε d 2

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