A área se seção reta de uma barra quadrada é reduzida pela metade na seção m n , como mostrado na figura. Achar a tração máxima e as tensões de compressão na seção reduzida da barra, devido à força P .

Passo 1

Ora bolas! Se a própria questão diz que a barra está sujeita apenas a uma carga periférica, é meio na cara que a única tensão atuando em um elemento qualquer da barra, é a tensão cisalhante τ x y . Vamos então, tratar de calculá-la.

Passo 2

Se a barra tem uma densidade de força constante periférica igual a 4   k N / m , bora calcular quanto vale essa força ao longo de toda a barra? Para fazer isso, basta multiplicar a densidade de força pelo comprimento total do nosso objeto, de modo que ficamos com:

F T o t a l = c o m p r i m e n t o   d a   b a r r a × d e n s i d a d e   d e   f o r ç a

F T o t a l = P

Agora que já obtemos a força, para encontrar a tensão cisalhante basta dividir a força pela área da seção transversal A da barra e achamos nosso τ x y .

τ x y = F o r ç a Á r e a   d a   s e ç ã o   t r a n s v e r s a l = P A = P a 2 - a 2 4 = 4 P 3 a 2

Considerando que adotemos como nosso elemento para estado plano, um ponto da seção transversal da barra, então nossa representação vai ficar assim:

Onde:

σ x = 3 P 2 a 2

σ y = 3 P 2 a 2

τ x y = 4 P 3 a 2

Passo 3

Finalmente, só nos resta aplicar a fórmula das tensões principais para encontrar nossa resposta. Sabemos que ela tem a seguinte cara:

σ p r i n c i p a i s = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores numéricos adequados, chegamos até:

σ p r i n c i p a i s = 3 P 4 a 2 ± 3 P 4 a 2 2 + ( 4 P 3 a 2 ) 2

Pera só um pouco que ainda não terminou! O enunciado pede as “tensões principais”, no plural. Se repararmos bem tem um ( ± ) ali, no nosso último cálculo . Isso significa que um resultado vai ter valor máximo e outro vai ter valor mínimo. Concluímos então, que vamos obter duas tensões, uma máxima   σ 1 e outra mínima σ 2 . Voltemos aos nossos cálculos, para obter o resultado, de fato:

σ 1 = 8 P a 2

σ 2 = - 4 P a 2

Resposta

σ 1 = 8 P a 2

σ 2 = - 4 P a 2

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