Calcular a tensão máxima de cisalhamento na viga do Problema 5.1.9

Passo 1

Fala aí! Queremos a tensão máxima. Então a gente precisa achar onde o cisalhamento é máximo.

Vamos começar calculando as reações de apoio! Por isso, a melhor coisa a se fazer é um esboço do problema...

Do problema 5.1.9, sabemos que P vale 500   k g f !

Aplicando as equações de equilíbrio:

⤿ + ∑ M B = 0

3 R 1 - 500 ⋅ 1,2 = 0

3 R 1 = 600

R 1 = 200   k g f

↑ + ∑ F y = 0

R 1 + R 2 = P

R 2 = 5 0 0   k g f - 200   k g f

R 2 = 30 0   k g f

Passo 2

O próximo passo agora é achar os gráficos de diagrama de esforço cortante e momento fletor...

Por isso analisemos seção por seção.

Comecemos analisando ( 0 ≤ x ≤ 1,8   m ) :

∑ F y = 0

- V + R 1 = 0

V = R 1 = 200   k g f

∑ M = 0

M - R 1 x = 0

M = R 1 x = 200 x

E depois ( 1,8   m < x ≤ 3,0   m ) :

∑ F y = 0

- V + R 1 - P = 0

V = R 1 - P = - 30 0   k g f

V = 30 0   k g f

∑ M = 0

M - R 1 x + P ( x - 1,8 ) = 0

M = R 1 x - P x + 1,8 P = - 30 0 x + 90 0

O esforço cortante máximo, como podemos ver, vai se igual à 300   k g f !

Passo 3

Agora vamos determinar o momento de inércia!

Bem! Analisando a figura do enunciado, dá pra separar a seção transversal da nossa viga em dois retângulos, um onde o comprimento b 1 = 75   m m e a altura h 1 = 25   m m e outro onde b 2 = 25   m m e h 2 = 75   m m ...

I = b 1 h 1 3 12 + b 2 h 2 3 12

I = 75 ⋅ 25 3 12 + 25 ⋅ 75 3 12

I = 976562,5   m m 4

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o momento estático. Essa vai ser a parte mais complicadinha do exercício! Mas calma que vai dar bom!

Pra fazer isso, primeiro, precisamos determinar a posição y - da linha neutra dessa seção.

Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados e definindo uma posição 0 na base da seção:

Em seguida, preenchemos em uma tabela os valores da área A i e da posição y - i do centro de cada elemento:

Ainda nessa tabela, também preenchemos na última coluna o produto desses valores para cada elemento e na última linha os somatórios ∑ A i e ∑ A i y - i .

Com isso, podemos aplicar a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

E substituir os valores desses somatórios para encontrarmos a posição da nossa linha neutra:

y - = 234375   m m 3 3750   m m 2 = 6 2,5   m m

Passo 5

O próximo passo, então, é identificar as fibras de interesse:

  • As fibras no topo e na base da seção;
  • As fibras onde ocorre uma mudança na largura da seção;
  • E a fibra na linha neutra.

Fazendo isso, ficamos com o desenho abaixo:

Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para já facilitar os cálculos do próximo passo.

Passo 6

Agora, devemos calcular os momentos estáticos Q .

Para as fibras A e D , podemos nos lembrar que os momentos estáticos das fibras no topo e na base de uma seção são iguais a zero, então:

Q A = Q D = 0

Para a fibra B , podemos escolher por observar a região acima dessa fibra.

Fazendo isso, vamos ter nessa região um único elemento retangular: o elemento 1 que definimos anteriormente.

Esse elemento tem uma área A 1 = 1875   m m 2 e um centro com uma posição relativa à linha neutra y - 1 = d 1 = 25   m m .

Dessa forma, temos que:

Q B = ∑ A i y - i = 1875 2 5 = 46875   m m 3

Já para a fibra C , é mais fácil escolher por observar a região abaixo dessa fibra.

Nessa região, vamos ter um único elemento retangular encostado na linha neutra com uma altura de 6 2,5   m m e uma largura de 25   m m .

Dessa forma, esse elemento vai ter uma área A 1 = 6 2,5 25 e um centro com uma posição relativa à linha neutra y - 1 = 6 2,5 / 2 .

Sendo assim, temos:

Q C = ∑ A i y - i = 6 2,5 25 6 2,5 2 = 48828,125   m m 3

Somando tudo, temos que...

Q = 95703,125   m m 3

Passo 7

Pra finalizar, aplicamos a equação do cisalhamento:

τ m á x = V Q m á x I t

Onde t é a largura da alma, no caso 25   m m :

τ m á x = ( 300   k g f ) ⋅ ( 95703,125   m m 3 ) ( 976562,5   m m 4 ) ⋅ ( 25   m m )

τ m á x ≅ 0,18   k g f / m m 2

Bateu com o gabarito! Tamo indo bem, guys!

Resposta

τ m á x ≅ 0,18   k g f / m m 2

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