Deduzir a equação da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, carregada como se vê na figura. Iniciar a dedução com a equação diferencial de quarta ordem [Eq. (6-9c)].
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Precisamos determinar a equação da linha elástica para uma viga submetida a um carregamento triangular. Já que estamos falando do carregamento, vamos aproveitar para obter a sua equação! Ela será:
Bom, mas não é só isso! A questão ainda impõe para que a gente determine essa equação partindo da equação diferencial de quarta ordem, a qual é:
Então, vamos ter que integrar a equação do carregamento quatro vezes!!! E ainda aplicar as condições de contorno...
Então, vamos as contas!
Passo 2
Agora que a gente já conhece o nosso carregamento, vamos aproveitar para fazer integrações sucessivas (até determinarmos a equação da linha elástica). Portanto,
E assim acabamos a parte de integração da nossa equação!
Passo 3
Agora temos que identificar cada uma das quatro incógnitas. E para isto, precisaremos de condições de contorno.
E, para o caso desta viga, temos (não há deformação da viga sobre os suportes) e (o momento fletor é igual a zero em cima dos suportes).
OBS: Aproveitando, a relação do momento fletor com a equação da linha elástica é: .
Continuando, agora é só aplicarmos as condições de contorno. Substituindo todas as quatro, nós obtemos o seguinte sistema:
Da primeira e da segunda equação obtemos que . Já da quarta nós temos que .
Por fim, da segunda equação, nós obtemos que:
Portanto, a equação da linha elástica é:
E assim finalizamos a questão!