Deduzir a equação da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, carregada como se vê na figura. Iniciar a dedução com a equação diferencial de quarta ordem [Eq. (6-9c)].

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica para uma viga submetida a um carregamento triangular. Já que estamos falando do carregamento, vamos aproveitar para obter a sua equação! Ela será:

q x - 0 = Δ y Δ x x - 0

q x = q 0 L x

Bom, mas não é só isso! A questão ainda impõe para que a gente determine essa equação partindo da equação diferencial de quarta ordem, a qual é:

E I v ' ' ' ' = q

Então, vamos ter que integrar a equação do carregamento quatro vezes!!! E ainda aplicar as condições de contorno...

Então, vamos as contas!

Passo 2

Agora que a gente já conhece o nosso carregamento, vamos aproveitar para fazer integrações sucessivas (até determinarmos a equação da linha elástica). Portanto,

E I v ' ' ' ' = q 0 L x

E I v ' ' ' = q 0 2 L x 2 + C 1

E I v ' ' = q 0 6 L x 3 + C 1 x + C 2

E I v ' = q 0 24 L x 4 + C 1 2 x 2 + C 2 x + C 3

E I v = q 0 120 L x 5 + C 1 6 x 3 + C 2 2 x 2 + C 3 x + C 4

E assim acabamos a parte de integração da nossa equação!

Passo 3

Agora temos que identificar cada uma das quatro incógnitas. E para isto, precisaremos de condições de contorno.

E, para o caso desta viga, temos v 0 = v L = 0 (não há deformação da viga sobre os suportes) e v ' ' 0 = v ' ' L = 0 (o momento fletor é igual a zero em cima dos suportes).

OBS: Aproveitando, a relação do momento fletor com a equação da linha elástica é: M = - E I v ' ' .

Continuando, agora é só aplicarmos as condições de contorno. Substituindo todas as quatro, nós obtemos o seguinte sistema:

C 4 = 0 q 0 120 L L 5 + C 1 6 L 3 + C 2 2 L 2 + C 3 L + C 4 = 0 C 2 = 0 q 0 6 L L 3 + C 1 L + C 2 = 0

Da primeira e da segunda equação obtemos que C 4 = C 2 = 0 . Já da quarta nós temos que C 1 = - q 0 L 6 .

Por fim, da segunda equação, nós obtemos que:

q 0 120 L L 5 + - q 0 L 6 6 L 3 + C 3 L = 0

q 0 L 4 120 - q 0 L 4 36 + C 3 L = 0

C 3 = 7 q 0 L 3 360

Portanto, a equação da linha elástica é:

v = 1 E I q 0 120 L x 5 - q 0 L 3 36 x 3 + 7 q 0 L 3 360 x

E assim finalizamos a questão!

Resposta

v = 1 E I q 0 120 L x 5 - q 0 L 3 36 x 3 + 7 q 0 L 3 360 x

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