Uma viga de seção reta U como mostra a figura, é simplesmente apoiada nas extremidades e suporta uma carga concentrada, P , no meio do vão. Determinar a carga admissível, P , sendo a tensão de trabalho na flexão 1400   k g f / c m 2 para tração e 840   k g f / c m 2 para compressão. (Considerar b = 60   c m ; h = 25   c m ; t = 5   c m e L = 300   c m .

Passo 1

Vamos começar!

O que nós sabemos?

Sabemos que a força P   na viga vai gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Esses momentos fletores M F l vão gerar na viga tensões normais de flexão σ , de acordo com a fórmula da flexão:

σ = M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Lembrando que nessa equação, dependendo dos sinais de M F l e de y , a tensão σ pode assumir valores positivos (de tração) ou negativos (de compressão).

Beleza!

E o que é que está acontecendo no exercício?

Nesse exercício, vamos ter certas seções da viga onde o momento fletor M F l vai ter os seus “valores críticos”: os seus maiores valores positivo e negativo.

Nessas seções, que vamos chamar de “seções críticas”, há a chance de que a tensão normal σ atinja, ou no topo ou na base da seção, o seu valor máximo em tração ( + ):

σ m á x , t r a ç ã o

...e/ou o seu valor máximo em compressão ( - ):

σ m á x , c o m p .

...sendo que, para a viga do exercício, essas tensões tem que ser monitoradas para garantir que elas não ultrapassem os seus valores máximos admissíveis de + 80   M P a e - 130   M P a .

Ou seja, essas tensões tem que satisfazer as condições:

σ m á x , t r a ç ã o ≤ 1400   k g f / c m 2

&

σ m á x , c o m p ≥ -   840   k g f / c m 2

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o valor máximo da carga P de tal forma que as condições acima ainda sejam respeitadas.

Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:

1. Encontrar os momentos fletores M F l críticos na viga em função de w .

Para tanto, podemos aplicar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.

2. Analisar a geometria em “ T ” da seção transversal da viga para encontrar a posição y - de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área I z z .

3. Definir os “valores críticos” de y para a viga e aplicar a fórmula da flexão σ = M F l y / I z z usando esses valores e os momentos fletores M F l críticos encontrados anteriormente.

Assim, vamos encontrar as tensões σ máximas de tração ( + ) e compressão ( - ) na viga em função da carga distribuída desconhecida w .

E, finalmente, 4. Aplicar as condições σ m á x , t r a ç ã o ≤ 1400   k g f / c m 2 e σ m á x , c o m p ≥ -   840   k g f / c m 2 .

Assim, vamos descobrir o valor máximo permitido para P de acordo com essas condições, resolvendo então o exercício.

Passo 2

Então vamos começar encontrando os momentos fletores M F l críticos na viga através dos métodos da estática!

Começando pelo primeiro passo dos métodos da estática, temos o DCL ou:

Para essa viga, temos que...

Passo 3

Feito o DCL, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, por simetria, temos que:

R 1 = R 2

R 1 + R 2 = P

R 1 = P 2

R 2 = P 2

Passo 4

Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, podemos seguir agora para a:

Então precisamos avaliar as duas seções da barra, que são a seção 1 , entre 0 e 1,5   m e a seção 2 , entre 1,5 e 3,0   m .

  • Para a seção 1 :
  • ↑ + ∑ F = 0

    - V + R 1 = 0

    V = R 1 = P 2

    ⤿ + M = 0

    M - R 1 x = 0

    M = P 2 x

  • Para a seção 2 :

↑ + ∑ F = 0

- V + R 1 - P = 0

V = - P 2

⤿ + M = 0

M - R 1 x + P x - L 2 = 0

M = - P 2 x + L 2 P

Assim...

Juntando tudo que acabamos de ver...

Conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor abaixo para essa viga:

E tcharam! 😎

Desse diagrama de momento fletor, conseguimos retirar o valor crítico...

M F l m á x = P L 4

E assim terminamos toda a parte dos métodos da estática.

Passo 5

Agora, podemos seguir para o estudo das propriedades geométricas da seção transversal dessa viga, começando pela determinação da:

Para calcular essa posição, devemos observar a geometria da seção da viga:

Com isso, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra usando a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

y - = 300 ⋅ 22,4 + 2 ⋅ 100 ⋅ 10 500 = 17,5   c m

Que é a posição da nossa linha neutra!

Passo 6

Depois da posição da linha neutra, podemos calcular para a seção da nossa viga o:

Aqui, devemos começar calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento.

No nosso caso, tanto o elemento 2 quanto o elemento 3 tem o mesmo momento de inércia.

Dessa forma, os dois vão ter momentos de inércia da área dados pela fórmula I i = b h 3 / 12 .

Assim, para o elemento 1 , que está “deitado” com uma base b = 60   c m e uma altura h = 5   c m , vamos ter que:

I 1 = 60 5 3 12 + 60 ⋅ 5 ⋅ 5 2 = 8 12 5   c m 4

Já para os elemento 2 e 3 , que estão “em pé” com uma base b = 5   c m e uma altura h = 20   c m , vamos ter que:

I 2 = I 3 = 5 2 0 3 12 + 5 ⋅ 20 ⋅ 7,5 2 = 8958,33   c m 4

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I z z = 26041 , 67   c m 4

Passo 7

Agora, podemos definir os “valores críticos” (máximos positivo e negativo) de y para essa viga.

Assim, vamos poder aplicar a fórmula da flexão σ = - M F l y / I z z usando esses valores e o valor crítico de M F l encontrados lá no passo 5 .

Então vamos lá!

Em qualquer viga, os valores máximos positivo e negativo de y vão acontecer para o topo e para a base da viga.

Para a nossa viga:

Isso significa que o valor máximo positivo da posição y de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:

y m á x , + = y b a s e = 17,5

E que o valor mínimo negativo da posição y de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:

y m á x , - = y t o p o = 25 - 17,5 = 7 , 5   c m

Logo, teremos tração para o ponto da base e compressão para o ponto do topo

Passo 8

Com esses valores, podemos achar a carga admissível, P , com base na formula abaixo…

σ = M F l y I z z

Vamos ver primeiro, para a tensão de tração de 1400   k g f / c m 2 ...

σ = M F l y I z z

1400   k g f / c m 2 = P ( 300   c m ) 4 ⋅ 1 7,5   c m 26041,67   c m 4

P ≅ 27778   k g f

E depois, para a tensão de compressão de 840   k g f / c m 2 ...

σ = M F l y I z z

840   k g f / c m 2 = P ( 300   c m ) 4 ⋅ 7,5   c m 26041,67   c m 4

P ≅ 38889   k g f

Ficamos com o menor valor, já que é a carga admissível. Logo;

P ≅ 27778   k g f

Resposta

P ≅ 27778   k g f

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