Uma viga de seção reta como mostra a figura, é simplesmente apoiada nas extremidades e suporta uma carga concentrada, , no meio do vão. Determinar a carga admissível, , sendo a tensão de trabalho na flexão para tração e para compressão. (Considerar ; ; e .
Passo 1
Vamos começar!
O que nós sabemos?
Sabemos que a força na viga vai gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes e momentos fletores .
Esses momentos fletores vão gerar na viga tensões normais de flexão , de acordo com a fórmula da flexão:
Onde:
- (ou só “”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
- é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão em relação à linha neutra da seção;
- & (ou só “”) é o momento de inércia da área da seção.
Lembrando que nessa equação, dependendo dos sinais de e de , a tensão pode assumir valores positivos (de tração) ou negativos (de compressão).
Beleza!
E o que é que está acontecendo no exercício?
Nesse exercício, vamos ter certas seções da viga onde o momento fletor vai ter os seus “valores críticos”: os seus maiores valores positivo e negativo.
Nessas seções, que vamos chamar de “seções críticas”, há a chance de que a tensão normal atinja, ou no topo ou na base da seção, o seu valor máximo em tração ():
...e/ou o seu valor máximo em compressão ():
...sendo que, para a viga do exercício, essas tensões tem que ser monitoradas para garantir que elas não ultrapassem os seus valores máximos admissíveis de e .
Ou seja, essas tensões tem que satisfazer as condições:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente determine o valor máximo da carga de tal forma que as condições acima ainda sejam respeitadas.
Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:
1. Encontrar os momentos fletores críticos na viga em função de .
Para tanto, podemos aplicar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.
2. Analisar a geometria em da seção transversal da viga para encontrar a posição de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área .
3. Definir os “valores críticos” de para a viga e aplicar a fórmula da flexão usando esses valores e os momentos fletores críticos encontrados anteriormente.
Assim, vamos encontrar as tensões máximas de tração () e compressão () na viga em função da carga distribuída desconhecida .
E, finalmente, 4. Aplicar as condições e .
Assim, vamos descobrir o valor máximo permitido para de acordo com essas condições, resolvendo então o exercício.
Passo 2
Então vamos começar encontrando os momentos fletores críticos na viga através dos métodos da estática!
Começando pelo primeiro passo dos métodos da estática, temos o DCL ou:
Para essa viga, temos que...
Passo 3
Feito o DCL, seguimos para o:
Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, por simetria, temos que:
Passo 4
Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, podemos seguir agora para a:
Então precisamos avaliar as duas seções da barra, que são a seção , entre e e a seção , entre e .
- Para a seção :
- Para a seção :
Assim...
Juntando tudo que acabamos de ver...
Conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor abaixo para essa viga:
E tcharam! 😎
Desse diagrama de momento fletor, conseguimos retirar o valor crítico...
E assim terminamos toda a parte dos métodos da estática.
Passo 5
Agora, podemos seguir para o estudo das propriedades geométricas da seção transversal dessa viga, começando pela determinação da:
Para calcular essa posição, devemos observar a geometria da seção da viga:
Com isso, podemos finalmente calcular a posição da linha neutra usando a fórmula:
Que é a posição da nossa linha neutra!
Passo 6
Depois da posição da linha neutra, podemos calcular para a seção da nossa viga o:
Aqui, devemos começar calculando o momento de inércia da área de cada elemento.
No nosso caso, tanto o elemento quanto o elemento tem o mesmo momento de inércia.
Dessa forma, os dois vão ter momentos de inércia da área dados pela fórmula .
Assim, para o elemento , que está “deitado” com uma base e uma altura , vamos ter que:
Já para os elemento e , que estão “em pé” com uma base e uma altura , vamos ter que:
E calculando tudo, vamos encontrar que:
Passo 7
Agora, podemos definir os “valores críticos” (máximos positivo e negativo) de para essa viga.
Assim, vamos poder aplicar a fórmula da flexão usando esses valores e o valor crítico de encontrados lá no passo .
Então vamos lá!
Em qualquer viga, os valores máximos positivo e negativo de vão acontecer para o topo e para a base da viga.
Para a nossa viga:
Isso significa que o valor máximo positivo da posição de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:
E que o valor mínimo negativo da posição de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:
Logo, teremos tração para o ponto da base e compressão para o ponto do topo
Passo 8
Com esses valores, podemos achar a carga admissível, , com base na formula abaixo…
Vamos ver primeiro, para a tensão de tração de ...
E depois, para a tensão de compressão de ...
Ficamos com o menor valor, já que é a carga admissível. Logo;