Duas vigas prismáticas do mesmo material são geometricamente semelhantes, sendo que as dimensões da segunda são n vezes as dimensões correspondentes da primeira. Ambas estão apoiadas do mesmo modo e sujeitas apenas à ação dos próprios pesos. Achar a relação δ 2 / δ 1 da deflexão da segunda par a correspondente para a primeira.

Passo 1

Galera essa questão é bem direta e pede para a gente achar a linha elástica. A gente só tem que achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Neste exercício é pedido apenas a equação linha estática à esquerda da força P (perceba a direção de x ).

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F y = 0

∑ M = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

A y - P + B y = 0

A y + B y = P

Pessoal, como se trata de um problema simétrico nem precisamos aplicar o somatório dos momentos já que as forças A y e B y serão iguais! Sendo assim,

A y = B y = P 2

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, lembrando que precisamos apenas da metade esquerda. Logo, podemos desenhar o seguinte corte:

Fazendo o somatório das forças em y de modo a achar a força cortante:

∑ F y = 0

A y - V = 0

V = A y = P 2

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M A = 0

V x - M = 0

M = V x = P x 2

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

No caso da outra viga, que é n vezes mais pesada teremos que...

M = n P x 2

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P x 2 E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P x 2 E I   d x

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 + C 1

No caso da outra viga, ficamos com...

d y d x = 1 2 E I n P x 2 2 + C 1

Mas pessoal, se liga na sacada mestre!!!

Como temos um problema simétrico, então no ponto central da viga vamos ter que θ , a inclinação, vale zero!!

Sendo assim podemos substituir na equação acima para achar C 1 :

d y d x = θ = 0

0 = 1 2 E I P ( L / 2 ) 2 2 + C 1

C 1 = - P L 2 8

Então temos:

d y d x = 1 2 E I n P x 2 2 - P L 2 8

E podemos integrar novamente para achar y :

∫ d y d x   d x = ∫ 1 2 E I n P x 2 2 - P L 2 8   d x

y = 1 2 E I n P x 3 6 - P L 2 8 x + C 2

Agora vamos utilizar as condições de contorno para achar as contantes, olhando a nossa tabelinha a gente percebe que temos de utilizar as seguintes condições:

y p i n o = 0

Como o pino se encontra em x = 0 é só substituir e achar:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

0 = 1 2 E I P 0 3 6 + - P L 2 8 0 + C 2

Logo,

C 2 = 0

Então a equação que temos é a seguinte:

y = 1 2 E I n P x 3 6 - P L 2 8 x

Que pode ser expressa como:

y 1 = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Para a outra viga, temos que...

y 2 = P x 48 E I n 2 4 x 2 - 3 L 2

Já temos a primeira parte do problema que é a linha elástica.

Sendo assim, a relação entre a deflexão de uma viga pra outra, será dada por...

δ 2 δ 1 = n 2

Resposta

δ 2 δ 1 = n 2

Ver Outros Exercícios desse livro