A viga representada na figura suporta duas cargas concentradas, uma para baixo e outra pra cima. Calcular o deslocamento angular θ a na extremidade esquerda, a deflexão δ 1 no ponto de aplicação da carga que atua para baixo e a deflexão δ 2 no meio do vão.

Passo 1

Galera essa questão é bem direta e pede para a gente achar a linha elástica. A gente só tem que achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Neste exercício é pedido apenas a equação linha estática à esquerda da força P (perceba a direção de x ).

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F y = 0

∑ M = 0

Sendo assim,

R 1 + R 2 = 0

∑ M A = 0

- P a + P L - a + R 2 L = 0

R 1 = 2 P a - P L

R 2 = P L - 2 P a

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, lembrando que precisamos apenas da metade esquerda.

Para a primeira seção, que vai de 0 até a :

∑ M = 0

M - R 1 x = 0

M = 2 P a - P L x

Para a segunda seção, que vai de 0 até L - 2 a :

∑ M = 0

M - 2 P a - P L x + P ( x - a ) = 0

M - 2 P a x + P L x + P x - P a = 0

M = 2 P a x - P x - P L x + P a

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P x 2 E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P x 2 E I   d x

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 + C 1

Mas pessoal, se liga na sacada mestre!!!

Como temos um problema simétrico, então no ponto central da viga vamos ter que θ , a inclinação, vale zero!!

Sendo assim podemos substituir na equação acima para achar C 1 :

d y d x = θ = 0

0 = 1 2 E I P ( L / 2 ) 2 2 + C 1

C 1 = - P L 2 8

Então temos:

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8

E podemos integrar novamente para achar y :

∫ d y d x   d x = ∫ 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8   d x

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

Agora vamos utilizar as condições de contorno para achar as contantes, olhando a nossa tabelinha a gente percebe que temos de utilizar as seguintes condições:

y p i n o = 0

Como o pino se encontra em x = 0 é só substituir e achar:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

0 = 1 2 E I P 0 3 6 + - P L 2 8 0 + C 2

Logo,

C 2 = 0

Então a equação que temos é a seguinte:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x

Que pode ser expressa como:

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Já temos a primeira parte do problema que é a linha elástica.

Passo 5

Agora vamos calcular a inclinação em A , como a inclinação é dada pela equação:

θ = d y d x = 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8

É só substituir x = 0

θ = 1 2 E I P 0 2 2 - P L 2 8

θ A = - P L 2 16 E I

A deflexão máxima ocorre no ponto central (pelo motivo de simetria) e vai ser dada por:

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Substituindo x = L / 2 :

δ 1 = P a 2 L - 2 a 2 6 L E I

δ 2 = 0

E o valor do ângulo será dado por...

θ a = P a ( L - a ) ( L - 2 a ) 6 L E I

Resposta

δ 1 = P a 2 L - 2 a 2 6 L E I

δ 2 = 0

θ a = P a ( L - a ) ( L - 2 a ) 6 L E I

Ver Outros Exercícios desse livro