Mostrar que o núcleo de uma seção circular de raio r é um círculo concêntrico de raio r / 4 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos começar a questão relembrando o que é o núcleo de uma seção transversal.

O núcleo nada mais é do que uma região, ao redor do centroide, que se aplicado uma força excêntrica ali, produzirá em toda a seção transversal da peça uma tensão com mesmo sinal (apenas tração ou apenas compressão).

Para calcularmos esta relação, vamos precisar utilizar a seguinte relação:

y = - I A e

Agora o trabalho é substituir os termos corretos para a nossa geometria e descobrir o valor de e .

Passo 2

Como nós temos uma seção circular de raio r , podemos afirmar que o centroide passa pelo centro do círculo.

O momento de inércia e a área são valores já tabelados, sendo I = π r 4 / 4   e A = π r 2 .

Só nos resta analisarmos o valor de y (distância do centroide até a linha neutra) e obter o valor de e .

Bom, como queremos que a linha neutra esteja exatamente na extremidade da seção, a sua distância deve ser y = ± r (independente se no eixo x ou y , pois o círculo é simétrico). Substituindo então estes valores, obtemos:

± r = - π r 4 4 π r 2 e

e = ± r 4

Então, o núcleo é uma região que dista r / 4 do centro da seção transversal. Em outras palavras, é exatamente um círculo concêntrico de raio r / 4 !

E assim finalizamos a questão!

Resposta

e = ± r 4

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