Mostrar que o núcleo de uma seção circular vazada, de raio externo e raio interno , é um círculo de raio . Qual é o valor-limite do raio do núcleo, quando se aproxima de e a seção reta tem a forma de um anel fino?
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Precisamos começar a questão relembrando o que é o núcleo de uma seção transversal.
O núcleo nada mais é do que uma região, ao redor do centroide, que se aplicado uma força excêntrica ali, produzirá em toda a seção transversal da peça uma tensão com mesmo sinal (apenas tração ou apenas compressão).
Para calcularmos esta relação, vamos precisar utilizar a seguinte relação:
Agora o trabalho é substituir os termos corretos para a nossa geometria e descobrir o valor de . E depois, vamos descobrir o que acontece com esse raio quando tende a .
Passo 2
Como nós temos uma seção circular de raio interno e externo , podemos afirmar que o centroide passa pelo centro do círculo.
O momento de inércia e a área são valores já tabelados, sendo e .
Só nos resta analisarmos o valor de (distância do centroide até a linha neutra) e obter o valor de .
Bom, como queremos que a linha neutra esteja exatamente na extremidade da seção, a sua distância deve ser (independente se no eixo ou , pois o círculo é simétrico). Substituindo então estes valores, obtemos:
Reorganizando a equação e fatorando em , temos:
E assim nós demonstramos que o núcleo é uma região que dista do centro da seção transversal. Em outras palavras, é exatamente um círculo concêntrico de raio !
Passo 3
Para finalizarmos a questão precisamos descobrir o que acontece com o raio do núcleo quando tende a .
E aqui é simples, basta fazermos o limite da função! Portanto,
E assim percebemos que o núcleo tende a sobrepor toda a seção transversal.
E assim finalizamos a questão!
Resposta
Quando tende a , o núcleo tende a sobrepor toda a seção transversal.