Mostrar que o núcleo de uma seção circular vazada, de raio externo r 2 e raio interno r 1 , é um círculo de raio r = r 2 2 + r 1 2 / 4 r 2 . Qual é o valor-limite do raio do núcleo, quando r 1 se aproxima de r 2 e a seção reta tem a forma de um anel fino?

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos começar a questão relembrando o que é o núcleo de uma seção transversal.

O núcleo nada mais é do que uma região, ao redor do centroide, que se aplicado uma força excêntrica ali, produzirá em toda a seção transversal da peça uma tensão com mesmo sinal (apenas tração ou apenas compressão).

Para calcularmos esta relação, vamos precisar utilizar a seguinte relação:

y = - I A e

Agora o trabalho é substituir os termos corretos para a nossa geometria e descobrir o valor de e . E depois, vamos descobrir o que acontece com esse raio quando r 1 tende a r 2 .

Passo 2

Como nós temos uma seção circular de raio interno r 1 e externo r 2 , podemos afirmar que o centroide passa pelo centro do círculo.

O momento de inércia e a área são valores já tabelados, sendo I = π r 2 4 - r 1 4 4 e A = π r 2 2 - r 1 2 .

Só nos resta analisarmos o valor de y (distância do centroide até a linha neutra) e obter o valor de e .

Bom, como queremos que a linha neutra esteja exatamente na extremidade da seção, a sua distância deve ser y = ± r 2 (independente se no eixo x ou y , pois o círculo é simétrico). Substituindo então estes valores, obtemos:

± r 2 = - π r 2 4 - r 1 4 4 π r 2 2 - r 1 2 e

Reorganizando a equação e fatorando r 2 4 - r 1 4 em r 2 2 - r 1 2 r 2 2 + r 1 2 , temos:

r 2 = ± r 2 2 - r 1 2 r 2 2 + r 1 2 4 r 2 2 - r 1 2 e

e = ± r 2 2 + r 1 2 4 r 2

E assim nós demonstramos que o núcleo é uma região que dista r 2 2 + r 1 2 4 r 2 do centro da seção transversal. Em outras palavras, é exatamente um círculo concêntrico de raio r 2 2 + r 1 2 4 r 2 !

Passo 3

Para finalizarmos a questão precisamos descobrir o que acontece com o raio r do núcleo quando r 1 tende a r 2 .

E aqui é simples, basta fazermos o limite da função! Portanto,

lim r 1 → r 2 ⁡ r = lim r 1 → r 2 ⁡ r 2 2 + r 1 2 4 r 2 = r 2 2 + r 2 2 4 r 2 = r 2 2

E assim percebemos que o núcleo tende a sobrepor toda a seção transversal.

E assim finalizamos a questão!

Resposta

e = ± r 2 2 + r 1 2 4 r 2

Quando r 1 tende a r 2 , o núcleo tende a sobrepor toda a seção transversal.

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