Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 1.10 - Ex. 7
Um peso, , está preso à extremidade de um fio flexível, de comprimento e área . A outra extremidade está presa a um suporte fixo. O peso cai livremente da altura do suporte, percorrendo todo o comprimento do fio. Estabelecer a fórmula para a tensão máxima, , no fio, supondo que o fio se alongue elasticamente, quando o peso para, e que o seu comprimento é grande comparado com a deformação.
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Esta questão é bem semelhante ao tópico de cargas de impacto sobre barras discutido na seção 1.10 do livro.
Aqui também vamos determinar a fórmula para a tensão máxima no fio. Mas, para isto, vamos ter que determinar primeiramente a deformação do fio.
Temos um peso , que estava preso na extremidade do fio. Este peso será solto e cairá uma altura , até entrar em contato com um suporte fixo, causando assim uma deformação no fio.
Podemos igualar a energia de deformação do fio com o trabalho do peso (peso vezes distância), através da seguinte relação:
Se chamarmos a deformação estática do fio devido ao peso de , teremos:
Passo 2
Agora que chegamos a uma equação para obtenção da deformação, vamos resolvê-la. Desta forma, temos:
Como a deformação deve ser positiva, então, a única solução possível da equação é:
Assumindo que o comprimento é muito maior que a deformação (enunciado da questão), podemos aproximar a nossa deformação por:
Passo 3
Agora que determinamos a deformação do fio, vamos calcular a tensão nela. Para isto, basta lembrarmos que:
E assim finalizamos a questão!