Enunciado

Resolver o problema anterior, se sigma_x = 0 , sigma_y = 2,80 k g f // m m^2 e tau_y x = 1,40 k g f // m m^2

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta questão possui o mesmo enunciado da questão anterior, a 2.5.5, com exceção dos valores do estado de tensão.

Então, é basicamente repetirmos a questão anterior, só que com novos valores.

Então, vamos lá! Vamos começar pela letra a). Aqui temos que determinar as tensões principais e os planos principais.

Continuando, vamos começar determinando os planos principais. Portanto, temos:

tan 2 theta_p = (2 tau_y x)/(sigma_x - sigma_y) ⟹ theta_p = (1)/(2) arctan ((2 tau_y x)/(sigma_x - sigma_y))

theta_p = (1)/(2) arctan ((2 * 1,40)/(0 - 2,80))

theta_p = - 22,5 °

Só que não esqueçam que são duas possíveis rotações, sendo ambos defasados de 90°! Então, temos theta_p , 1 = - 22,5 ° e theta_p , 2 = 67,5 ° .

Agora que a gente conseguiu determinar os planos principais, vamos determinar as tensões principais. Para isto, basta desenvolvermos a seguinte relação:

sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/(2) +- sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(y x)^2)

sigma_1,2 = (0 + 2,80)/(2) +- sqrt(((0 - 2,80)/(2))^2 + (1,40)^2)

sigma_1,2 = 1,40 +- 1,98

E assim chegamos as tensões principais sigma_1 = 3,38 k g f // m m^2 e sigma_2 = - 0,58 k g f // m m^2 .

Passo 2

Para finalizarmos a letra a) nós temos que esboçar o elemento rotacionado com as tensões principais. Portanto, temos:

E assim finalizamos a letra a).

Passo 3

Agora vamos para a letra b). Aqui devemos determinar as tensões para o estado de máxima tensão cisalhante e os planos nos quais elas atuam.

Então, vamos começar determinando os planos de tensões máximas de cisalhamento. Portanto, temos:

tan 2 theta_s = - (sigma_x - sigma_y)/(2 tau_y x) ⟹ theta_s = (1)/(2) arctan (- (sigma_x - sigma_y)/(2 tau_y x))

theta_s = (1)/(2) arctan (- (0 - 2,80)/(2 * 1 , 4 0))

theta_s = - 22,5 °

Só que não esqueçam que são duas possíveis rotações, sendo ambos defasados de 90°! Então, temos theta_s , 1 = 22,5 ° e theta_s , 2 = 112 , 5 ° .

Agora que a gente conseguiu determinar os planos, vamos calcular as tensões, a começar pelas tensões normais.

No estado de cisalhamento máximo, sempre teremos sigma_theta = sigma_(theta)^' . Além disto, podemos afirmar que a soma das tensões normais sempre vai ser igual, independente da rotação do elemento. Isto é,

sigma_theta + sigma_(theta)^' = sigma_x + sigma_y

sigma_theta + sigma_theta = 0 + 2,80

sigma_theta = sigma_(theta)^' = 1,40 k g f // m m^2

Já a tensão cisalhante máxima será:

tau_theta = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(y x)^2)

tau_theta = sqrt(((0 - 2,80)/(2))^2 + (1,40)^2)

tau_theta = 1,98 k g f // m m^2

E assim determinamos as tensões associadas a este estado!

Passo 4

Por fim, para finalizarmos a letra b), e consequentemente a questão, nós temos que esboçar o elemento rotacionado com as tensões principais. Portanto, temos:

E assim finalizamos a questão!

Resposta

  1. Os planos principais são theta_p , 1 = - 22,5 ° e theta_p , 2 = 67 , 5 ° . Já as tensões principais são sigma_1 = 3,38 k g f // m m^2 e sigma_2 = - 0,58 k g f // m m^2 . Por fim, o elemento rotacionado é:
  2. Os planos são theta_s , 1 = 22,5 ° e theta_s , 2 = 112 , 5 ° . Já as tensões são sigma_theta = sigma_(theta)^' = 1 , 40 k g f // m m^2 e tau_theta = - tau_(theta)^' = 1,98 k g f // m m^2 . Por fim, o elemento rotacionado é:

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