Qual será o torque na região central da barra circular com as extremidades engastadas, mostrada na figura se e e ?
Passo 1
O que está acontecendo?
O eixo tem um módulo de elasticidade transversal , um diâmetro e um raio ! A gente não sabe o valor de nenhuma dessas variáveis. Ele está submetido a dois torques e !
E ele está engastado em duas extremidades, que chamamos de e !
Usando a regra da mão direita, obtemos o seguinte DCL (diagrama de corpo livre) para esse eixo:
Aplicando as condições de equilíbrio nesse eixo, vamos ter uma equação (equilíbrio de torques), envolvendo as duas incógnitas ( e ).
Isso significa que esse é um problema estaticamente indeterminado. Então também vamos precisar de uma equação de compatibilidade para resolver o exercício.
Qual vai ser a equação de compatibilidade nesse caso?
Nesse caso, temos que o eixo está fixo nos pontos e .
Assim, temos que o ângulo de torção entre esses dois pontos deve ser igual à zero:
Mas o ângulo de torção entre esses dois pontos é igual à soma dos ângulos de torção do trecho , do trecho e do trecho :
Essa vai ser a nossa equação de compatibilidade.
Para que ela seja útil, vamos precisar descrever os ângulos de torção de cada trecho do eixo usando a fórmula:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber o torque na região centra entre e !
Passo 2
Então vamos começar o exercício identificando os torques internos nos trechos , e do eixo.
Em seguida, fazemos uma análise dos esforços internos: secionamos o eixo em cada trecho e observamos os esforços internos nessas seções.
Nessa análise, desenhamos os torques internos em vermelho “saindo” da peça pois essa é a nossa convenção.
Caso os seus professores utilizem a convenção contrária (a de que os torques internos são positivos quando “entram” nas peças), você deve desenhar os torques internos entrando. O sinal nem faz tanta diferença, porque os nossos cálculos mostram se acertamos ou erramos em nossas convenções! Relax!!!
Aplicando o equilíbrio de torques em cada caso, temos que:
Isolando os torques , e , encontramos que:
Como , temos que...
Passo 3
Agora que já definimos os torques internos nos diferentes trechos do nosso eixo, podemos estudar a nossa equação de compatibilidade:
Aplicando a fórmula do ângulo de torção para cada trecho, e tendo em mente que os dois trechos possuem:
- O mesmo módulo de elasticidade transversal ;
- E a mesma seção transversal circular maciça de raio , e, consequentemente, o mesmo momento de inércia polar ,
Essa equação fica assim:
Multiplicando tudo por , temos que:
Uma vez que...
Temos que...
E como :
Por fim... Para achar o torque na região central, isto é, na parte , basta substituir...
O negativo aí indica que o sentido de é contrário ao que a gente adotou! De qualquer forma, tirando o módulo...
Pronto! Terminamos aqui!