Qual será o torque na região central da barra circular com as extremidades engastadas, mostrada na figura se T 1 = 2 T 2 e a = c = L / 4 e b = L / 2 ?

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um módulo de elasticidade transversal G , um diâmetro d e um raio c ! A gente não sabe o valor de nenhuma dessas variáveis. Ele está submetido a dois torques T 1 e T 2 !

E ele está engastado em duas extremidades, que chamamos de A e B !

Usando a regra da mão direita, obtemos o seguinte DCL (diagrama de corpo livre) para esse eixo:

Aplicando as condições de equilíbrio nesse eixo, vamos ter uma equação (equilíbrio de torques), envolvendo as duas incógnitas ( T 1 e T 2 ).

Isso significa que esse é um problema estaticamente indeterminado. Então também vamos precisar de uma equação de compatibilidade para resolver o exercício.

Qual vai ser a equação de compatibilidade nesse caso?

Nesse caso, temos que o eixo está fixo nos pontos A e D .

Assim, temos que o ângulo de torção entre esses dois pontos deve ser igual à zero:

ϕ A / D = 0

Mas o ângulo de torção entre esses dois pontos é igual à soma dos ângulos de torção do trecho A B , do trecho B C e do trecho C D :

ϕ A / D = ϕ A / B + ϕ B / C + ϕ C / D = 0

Essa vai ser a nossa equação de compatibilidade.

Para que ela seja útil, vamos precisar descrever os ângulos de torção de cada trecho do eixo usando a fórmula:

ϕ = T L G J

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o torque na região centra entre B e C !

Passo 2

Então vamos começar o exercício identificando os torques internos T nos trechos A B , B C e C D do eixo.

Em seguida, fazemos uma análise dos esforços internos: secionamos o eixo em cada trecho e observamos os esforços internos nessas seções.

Nessa análise, desenhamos os torques internos em vermelho “saindo” da peça pois essa é a nossa convenção.

Caso os seus professores utilizem a convenção contrária (a de que os torques internos são positivos quando “entram” nas peças), você deve desenhar os torques internos entrando. O sinal nem faz tanta diferença, porque os nossos cálculos mostram se acertamos ou erramos em nossas convenções! Relax!!!

Aplicando o equilíbrio de torques ∑ T = 0 em cada caso, temos que:

- R 1 + T A B = 0       (Seções entre A e B )

&

- R 1 + T 1 + T B C = 0       (Seções entre  B  e C )

&

- R 1 + T 1 + T 2 + T C D = 0       (Seções entre  C e D )

Isolando os torques T A B , T B C e T C D , encontramos que:

T A B = R 1

&

T B C = R 1 - T 1

&

T C D = R 1 - T 1 - T 2

Como T 1 = 2 T 2 , temos que...

T A B = R 1

T B C = R 1 - 2 T 2

T C D = R 1 - 3 T 2

Passo 3

Agora que já definimos os torques internos nos diferentes trechos do nosso eixo, podemos estudar a nossa equação de compatibilidade:

ϕ A / B + ϕ B / C + ϕ C / D = 0

Aplicando a fórmula do ângulo de torção para cada trecho, e tendo em mente que os dois trechos possuem:

  • O mesmo módulo de elasticidade transversal G ;
  • E a mesma seção transversal circular maciça de raio c , e, consequentemente, o mesmo momento de inércia polar J = π / 2 c 4 ,

Essa equação fica assim:

T A B L A B G J + T B C L B C G J + T C D L C D G J = 0

Multiplicando tudo por G J , temos que:

T A B L A B + T B C L B C + T C D L C D = 0

Uma vez que...

L A B = L C D = a = c = L 4

L B C = L 2

Temos que...

T A B L A B + T B C L B C + T C D L C D = 0

R 1 L 4 + R 1 - 2 T 2 L 2   + R 1 - 3 T 2 L 4   = 0

R 1 4 + R 1 - 2 T 2 2   + R 1 - 3 T 2 4   = 0

R 1 + 2 R 1 - 4 T 2   + R 1 - 3 T 2   = 0

4 R 1 = 7 T 2

R 1 = 7 4 T 2

E como T 2 = T 1 / 2   :

R 1 = 7 4 T 2 = 7 8 T 1

Por fim... Para achar o torque na região central, isto é, na parte B C , basta substituir...

T B C = R 1 - T 1

T B C = 7 8 T 1 - T 1

T B C = - 1 8 T 1

O negativo aí indica que o sentido de T B C é contrário ao que a gente adotou! De qualquer forma, tirando o módulo...

T B C = 1 8 T 1

Pronto! Terminamos aqui!

Resposta

1 8 T 1

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