Tomando os momentos nos apoios como redundantes, calcular todas as reações na viga biengastada representada na Fig. 7-8.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme dito pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método da superposição. Mas como faremos isto? Bom, vamos acompanhar o raciocínio abaixo.

Vamos substituir supor que o momento M b e a força R b são atuantes no nosso problema.

Por causa do engastamento lá na extremidade b , também sabemos que δ b = θ b = 0 .

Em outras palavras, a deflexão e a inclinação devido as três forças serão nulas em B !

Agora, basta utilizarmos este conhecimento com as fórmulas do apêndice D para resolvermos esta questão!

Passo 2

Agora é só irmos para o apêndice D e encontrarmos as relações para cada uma das componentes. Com isto, teremos o seguinte sistema de equações:

δ b = δ C a r g a + δ R b + δ M b = 0 θ b = θ C a r g a + θ R b + θ M b = 0

Substituindo os valores corretamente, temos:

q a 3 24 E I 4 L - a - R b L 3 3 E I + M b L 2 2 E I = 0 q a 3 6 E I - R b L 2 2 E I + M b L E I = 0

q a 3 4 L - a - 8 R b L 3 + 12 M b L 2 = 0 q a 3 - 3 R b L 2 + 6 M b L = 0

Resolvendo o sistema, chegamos a:

R b = q a 3 ( 2 L - a ) 2 L 3

M b = q a 3 4 L - 3 a 12 L 2

Passo 3

Já para descobrirmos as outras forças, como o corpo está em equilíbrio, basta analisamos o somatório de forças. Portanto,

∑ F y = 0 ∑ M R A = 0 ⟹ R a + R b - q a = 0 M a - M b + R b L - q a 2 2 = 0

Resolvendo o sistema acima, obtemos:

R a = q a ( 2 L 3 - 2 L a 2 + a 3 ) 2 L 3

M a = q a 2 6 L 2 - 8 a L + 3 a 2 12 L 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

R b = q a 3 ( 2 L - a ) 2 L 3

M b = q a 3 4 L - 3 a 12 L 2

R a = q a ( 2 L 3 - 2 L a 2 + a 3 ) 2 L 3

M a = q a 2 6 L 2 - 8 a L + 3 a 2 12 L 2

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