Uma torre cilíndrica, circular, tendo altura h , diâmetro interno d 1 e diâmetro externo d 2 , começa a se inclinar ligeiramente. Qual é o ângulo de máxima inclinação permissível, α , em relação a vertical, de modo que nenhuma tração seja produzida na torre? (Considerar que a única carga é o peso próprio da torre.)

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Ao inclinarmos a torre de um ângulo α , estaremos impondo a ela um carregamento excêntrico. Portanto, a tensão em um ponto da seção transversal pode ser expressa por:

σ = P A + P e y I

Para que a gente descubra a inclinação máxima que não produz nenhuma tensão de tração, vamos ter que descobrir qual o valor da excentricidade e para o qual a tensão σ é nula quando y = - d 2 / 2 (distância da linha neutra até a extremidade da torre é máxima).

OBS: o sinal é negativo para que a tensão devido a flexão possua um sinal contrário a tensão da força P .

Agora, basta substituirmos os valores adequados e descobrir qual o ângulo α !

Passo 2

Agora que a gente já sabe o que fazer, vamos começar substituindo os valores dados no Passo 1 na nossa equação. Desta forma, obtemos:

0 = P A - P e d 2 2 I

Como também sabemos que a área da seção é A = π d 2 2 - d 1 2 4 e o momento de inércia é I = π d 2 4 - d 1 4 64 , temos:

P π d 2 2 - d 1 2 4 = P e d 2 2 π d 2 4 - d 1 4 64

Fatorando d 2 4 - d 1 4 em d 2 2 - d 1 2 d 2 2 + d 1 2 e reorganizando a nossa equação, obtemos:

4 d 2 2 - d 1 2 = 32 e d 2 d 2 2 - d 1 2 d 2 2 + d 1 2

e = d 2 2 + d 1 2 8 d 2

Mas quem é a excentricidade e ???

Neste caso, devido a geometria da torre, ela será dada por e = h sen ⁡ α 2 . Mas, se a gente assumir que o ângulo α é pequeno, podemos reescrevê-lo por e = h α 2 . Sendo assim, temos:

h α 2 = d 2 2 + d 1 2 8 d 2

α = d 2 2 + d 1 2 4 h d 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

α = d 2 2 + d 1 2 4 h d 2

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