Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 2
Um tubo de aço deve suportar uma carga de compressão de , com um coeficiente de segurança contra o escoamento de . Sabendo que a espessura da parede do tubo é um oitavo do diâmetro externo, calcular o diâmetro externo mínimo necessário.
Passo 1
Fala meus querid@s, tudo bom com vocês?
Se liguem só, nesse problema nós vamos precisar dividir a resolução em duas etapas para facilitar o entendimento. Bom, a Primeira delas será calcular a área resistente que esse tubo deve possuir para resistir simplesmente à compressão. Vejam o seguinte, se a carga de compressão, vale e o coeficiente de segurança vale , devemos calcular uma área para esse material que suporte . Se o material escoa sob a tensão de teremos que a área resistente será de
Pois bem, feito isso podemos prosseguir para a segunda etapa que consiste em distribuir essa área resistente de em um círculo do qual essa área será uma camada concêntrica, cuja espessura será do diâmetro externo conforme foi mencionado no enunciado.
Passo 2
Agora, dá uma respirada que vamos precisar fazer uma analogia pra saber quanto da área total essa área que nós encontramos representa e para isso podemos pensar no seguinte: imaginemos uma circunferência com de espessura, sua área será dada por
Então, se pegarmos uma borda desse círculo com de espessura vamos ter delimitado um furo circular com diâmetro
A área desse furo será dada por
Com isso temos que a área da coroa circular restante será dada por
Da nossa área inicial (circunferência completa) essa área encontrada representa uma porcentagem de
Passo 3
Pois bem, com o passo anterior descobrimos que nossa área encontrada representa cerca de da área total do círculo. Sendo assim, se ela representa da área total do círculo, ela vai valer
Por fim, para finalizarmos o problema falta pra gente calcular o diâmetro de um círculo que possui essa área transversal. Para isso, faremos o seguinte
Pronto, esse é o nosso diâmetro mínimo que a questão nos pedia, assim, finalmente está resolvido nosso problema. Já não era hora, né?
