Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 7.6 - Ex. 6
Uma viga contínua de quatro vãos suporta uma carga uniformemente distribuída de intensidade . Supondo que o comprimento de cada vão seja , determinar os momentos fletores nos apoios.
Passo 1
Bora lá, guys! Aqui está nossa viga
Vamo lá!
Temos por simetria, que...
Dessa forma...
Passo 2
Utilizando as três equações vamos ter:
- Para o eixo vertical:
- Para o eixo horizontal:
- Para o momento:
Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto e considerar o sentido anti-horário positivo.
Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!
Passo 3
Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!
Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:
Então a gente precisa da equação do momento fletor . Pessoal, aqui a gente meio que tem que utilizar funções de descontinuidade porque caso contrário iremos fazer muuuuita conta. Mas pode ficar tranquilo, vamos fazer juntos e ainda vou te dar uma tabelinha aqui pra te ajudar:
Como nesse problema temos apenas forças então todos os momentos serão da forma:
Vamos fazer devagarinho:
- Para a força em vamos ter:
- Para a força em vamos ter:
- Para a força vamos ter:
- Para a força em vamos ter:
Perceba que a força está no sentido positivo, logo o sinal do momento também é positivo. Além disso a força atua em .
obs: Como esse é o último termo a gente poderia ignorar, mas na real não faz diferença colocar ou não ok?
Então agora é só somar todos os termos:
Prontinho, temos nossa função do momento fletor escrita em termos de função de descontinuidade!
Passo 4
Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!
Agora vamos derivar a primeira vez.
lembrando que o valor é uma constante.
Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se !
Continuando vamos fazer a segunda integração.
Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes e . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!
Passo 5
As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!
Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.
No ponto :
No ponto
No ponto :
Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!
Como podemos eliminar alguns termos e irá sobrar:
Substituindo
Como , novamente poderemos retirar alguns termos o obter:
Substituindo:
Agora a gente pode retirar o termo ou não tanto faz!! De qualquer maneira vai dar zero.
Substituindo então vamos ter:
Reorganizando nós temos:
Perceberam que agora temos mais uma equação? Essa equação junto com aquelas lá de cima vão fornecer os valores de .
Passo 6
As equações que temos então são:
Resolvendo nós vamos ter que:
Passo 7
O problema também pediu para traçarmos os diagramas da força cortante e do momento fletor né? A equação do momento fletor a gente já tem:
Substituindo os valores:
Ou podemos também jogar direto os valores das reações no eixo e obter o diagrama que vai ficar da forma:
Passo 8
Para achar o diagrama da força cortante é só derivar o momento:
Derivando:
Resposta
Reações: