Enunciado

Uma viga contínua de quatro vãos suporta uma carga uniformemente distribuída de intensidade q . Supondo que o comprimento de cada vão seja L , determinar os momentos fletores nos apoios.

Passo 1

Bora lá, guys! Aqui está nossa viga

Vamo lá!

Temos por simetria, que...

R A = R B = R C = R D = R E = R

Dessa forma...

5 R = 4 q L

R = 0,8 q L

Passo 2

Utilizando as três equações vamos ter:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y + C y = P

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    B x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

( B y × L ) - ( P × 3 L 2 ) + ( C y × 2 L ) = 0

B y + 2 C y = 3 P 2

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força B x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Então a gente precisa da equação do momento fletor M . Pessoal, aqui a gente meio que tem que utilizar funções de descontinuidade porque caso contrário iremos fazer muuuuita conta. Mas pode ficar tranquilo, vamos fazer juntos e ainda vou te dar uma tabelinha aqui pra te ajudar:

Como nesse problema temos apenas forças então todos os momentos serão da forma:

M x = - P 〈 x - a 〉 1

Vamos fazer devagarinho:

  • Para a força em A vamos ter:
  • M x = A y 〈 x - 0 〉 1

    Perceba que a força está no sentido positivo, logo o sinal do momento também é positivo. Além disso a força atua em x = 0 .

  • Para a força em B vamos ter:
  • M x = B y 〈 x - L 〉 1

  • Para a força P vamos ter:
  • M x = - P 〈 x - 3 L 2 〉 1

  • Para a força em C vamos ter:

M x = C y 〈 x - 2 L 〉 1

obs: Como esse é o último termo a gente poderia ignorar, mas na real não faz diferença colocar ou não ok?

Então agora é só somar todos os termos:

M x = A y 〈 x - 0 〉 1 + B y 〈 x - L 〉 1 - P 〈 x - 3 L 2 〉 1 + C y 〈 x - 2 L 〉 1

Prontinho, temos nossa função do momento fletor escrita em termos de função de descontinuidade!

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = A y 〈 x - 0 〉 1 + B y 〈 x - L 〉 1 - P 〈 x - 3 L 2 〉 1 + C y 〈 x - 2 L 〉 1

Agora vamos derivar a primeira vez.

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ A y 〈 x - 0 〉 1 + B y 〈 x - L 〉 1 - P 〈 x - 3 L 2 〉 1 + C y 〈 x - 2 L 〉 1   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = A y 2 〈 x - 0 〉 2 + B y 2 〈 x - L 〉 2 - P 2 〈 x - 3 L 2 〉 2 + C y 2 〈 x - 2 L 〉 2 + C 1  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ A y 2 〈 x - 0 〉 2 + B y 2 〈 x - L 〉 2 - P 2 〈 x - 3 L 2 〉 2 + C y 2 〈 x - 2 L 〉 2 + C 1     d x  

E I .   y = A y 6 〈 x - 0 〉 3 + B y 6 〈 x - L 〉 3 - P 6 〈 x - 3 L 2 〉 3 + C y 6 〈 x - 2 L 〉 3 + C 1 . x + C 2  

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No ponto A :

x = 0 →   y = 0

No ponto B

x = L →   y = 0

No ponto C :

x = 2 L →   y = 0

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • E I .   y = A y 6 〈 x - 0 〉 3 + B y 6 〈 x - L 〉 3 - P 6 〈 x - 3 L 2 〉 3 + C y 6 〈 x - 2 L 〉 3 + C 1 . x + C 2  

    Como x < L podemos eliminar alguns termos e irá sobrar:

    E I .   y = A y 6 ( x - 0 ) 3 + C 1 . x + C 2  

    Substituindo

    E I .   0 = A y 6 ( 0 - 0 ) 3 + C 1 . 0 + C 2  

    C 2 = 0

  • x = L → y = 0
  • E I .   y = A y 6 〈 x - 0 〉 3 + B y 6 〈 x - L 〉 3 - P 6 〈 x - 3 L 2 〉 3 + C y 6 〈 x - 2 L 〉 3 + C 1 . x  

    Como x < 3 L 2 , novamente poderemos retirar alguns termos o obter:

    E I .   y = A y 6 ( x - 0 ) 3 + B y 6 ( x - L ) 3 + C 1 . x  

    Substituindo:

    E I .   0 = A y 6 ( L - 0 ) 3 + B y 6 ( L - L ) 3 + C 1 . L  

    C 1 = A y L 2 6

  • x = 2 L → y = 0

E I .   y = A y 6 〈 x - 0 〉 3 + B y 6 〈 x - L 〉 3 - P 6 〈 x - 3 L 2 〉 3 + C y 6 〈 x - 2 L 〉 3 + A y L 2 6 . x  

Agora a gente pode retirar o termo 〈 x - 2 L 〉 ou não tanto faz!! De qualquer maneira vai dar zero.

Substituindo então vamos ter:

E I .   0 = A y 6 ( 2 L - 0 ) 3 + B y 6 ( 2 L - L ) 3 - P 6 2 L - 3 L 2 3 + C y 6 2 L - 2 L 3 + A y L 2 6 . 2 L  

0 = A y 6 8 L 3 + B y 6 L 3 - P 6 . L 3 8 + A y L 3 3  

Reorganizando nós temos:

5 A y 3 + B y 6 = P 48  

Perceberam que agora temos mais uma equação? Essa equação junto com aquelas lá de cima vão fornecer os valores de A y ,   B y   e   C y .

Passo 6

As equações que temos então são:

B x = 0

A y + B y + C y = P

B y + 2 C y = 3 P 2

5 A y 3 + B y 6 = P 48  

Resolvendo nós vamos ter que:

A y = - 3 P 32

B y = 11 P 16

B x = 0

C y = 13 P 32

Passo 7

O problema também pediu para traçarmos os diagramas da força cortante e do momento fletor né? A equação do momento fletor a gente já tem:

M x = A y 〈 x - 0 〉 1 + B y 〈 x - L 〉 1 - P 〈 x - 3 L 2 〉 1 + C y 〈 x - 2 L 〉 1

Substituindo os valores:

M x = - 3 P 32 〈 x - 0 〉 1 + 11 P 16 〈 x - L 〉 1 - P 〈 x - 3 L 2 〉 1 + 13 P 32 〈 x - 2 L 〉 1

Ou podemos também jogar direto os valores das reações no eixo e obter o diagrama que vai ficar da forma:

Passo 8

Para achar o diagrama da força cortante é só derivar o momento:

M x = - 3 P 32 〈 x - 0 〉 1 + 11 P 16 〈 x - L 〉 1 - P 〈 x - 3 L 2 〉 1 + 13 P 32 〈 x - 2 L 〉 1

Derivando:

V x = - 3 P 32 〈 x - 0 〉 0 + 11 P 16 〈 x - L 〉 0 - P 〈 x - 3 L 2 〉 0 + 13 P 32 〈 x - 2 L 〉 0

Resposta

Reações:

R A = 3 q L 32

R B = 11 q L 16

R C = 0

R D = 13 q L 32

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