Para a viga da Fig. 6-15, calcular a deflexão δ c , no ponto médio. Dividir o vão em seis intervalos iguais.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão no meio do vão da viga da Fig. 6-15. Esta é uma viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga pontual P no meio dela, e com dois momentos de inércia diferentes! Devemos tomar cuidado aqui nesta parte do momento de inércia!

Além disto, devemos dividir a viga em 6 intervalos iguais (comprimento L / 6 ). Assim, teremos 7 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.

Para uma viga simplesmente apoiada e submetida a uma carga concentrada P no meio, a equação do momento fletor será:

M = P x 2

Já a rigidez da viga E I vai variar. Para pontos em x ≤ L / 4 , temos a rigidez E I , já para pontos L 4 ≤ x ≤ 3 L 4 , temos a rigidez 2 E I .

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 1, 2 e 3, o nosso sistema de equação será:

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - h 2 M 3 2 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 6 2 P L / 6 2 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 6 2 P L / 3 2 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - L 6 2 P L / 2 2 2 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - P L 3 432 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - P L 3 432 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - P L 3 288 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 2.

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Pela simetria do problema, temos que v 4 = v 2 . Além disto, como a deflexão do ponto sobre o vínculo é nula, temos v 0 = 0 .

Com isto, nosso sistema será:

v 2 - 2 v 1 = - P L 3 432 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - P L 3 432 E I - v 3 + v 2 = - P L 3 576 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 3 = 7 P L 3 576 E I

δ c = v 3 = 0,0122 P L 3 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ c = 0,0122 P L 3 E I

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