Para a viga representada na figura, determinar a deflexão no meio do vão. A viga tem altura h constante, porém a largura varia, como se vê na parte inferior da figura.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta questão é muito semelhante a questão 6.6-1. A diferença está apenas nos momentos de inércia das duas seções

Para a primeira seção (entre 0 ≤ x ≤ L 4 ), o momento de inércia será:

I 1 = b h 3 12

Já para a segunda seção (entre L 4 ≤ x ≤ L 2 ), o momento de inércia será uma função de x , pois a largura da viga cresce à medida que x aumenta. Portanto, ela será igual a

I 2 = 4 b x L h 3 12

I 2 = 4 x L b h 3 12 = 4 x L I 1

Agora que a gente já conhece os momentos de inércia, vamos desenvolver as equações da linha elástica para que assim a gente consiga obter a deflexão no meio da viga.

Sendo assim, vamos começar escrevendo a equação da linha elástica das vigas! Relembrando, as equações são:

E I 1 v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 2 v ' ' = - P x 2 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I 1 v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E 4 x L I 1 v ' ' = - P x 2 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I 1 v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 1 v ' ' = - P L 8 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Já as quatro condições de contorno são: quando x = 0 , v = 0 ; quando x = L / 2 , v ' = 0 ; quando x = L / 4 , a inclinação e a deflexão calculada por ambas as equações são idênticas.

Agora que já sabemos tudo, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar integrando as nossas equações diferenciais. Portanto,

E I 1 v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 1 v ' ' = - P L 8 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I 1 v ' = - P x 2 4 + C 1 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 1 v ' = - P L x 8 + C 3 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I 1 v = - P x 3 12 + C 1 x + C 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 1 v = - P L x 2 16 + C 3 x + C 4 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Passo 3

Agora nós temos que aplicar as condições de contorno. Começando por v = 0 quando x = 0 , temos:

E I 1 v = - P x 3 12 + C 1 x + C 2

0 = C 2

E assim descobrimos a nossa primeira constante! Já para v ' = 0 quando x = L / 2 , temos:

E I 1 v ' = - P L x 8 + C 3

0 = - P L 2 16 + C 3

C 3 = P L 2 16

Agora precisamos aplicar as duas condições de contorno que nos restam. Portanto, igualando a inclinação e deflexão das duas partes quando x = L / 4 , teremos:

1 E I 1 - P L 4 2 4 + C 1 = 1 E I 1 - P L L 4 8 + P L 2 16 1 E I 1 - P L 4 3 12 + C 1 L 4 = 1 E I 1 - P L L 4 2 16 + P L 2 16 L 4 + C 4

- P L 2 64 + C 1 = - P L 2 32 + P L 2 16 - P L 3 768 + C 1 L 4 = - P L 3 256 + P L 3 64 + C 4

Da primeira equação nós obtemos que C 1 = 3 P L 2 64 . Já da segunda equação nós obtemos que C 4 = - P L 3 768 .

Sendo assim, a equação da linha elástica da metade esquerda da viga é:

v = P E I 1 - x 3 12 + 3 P L 2 64 ,     0 ≤ x ≤ L 4 v = P E I 1 - L x 2 16 + L 2 x 16 - L 3 768 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Passo 4

E por fim, como nós queremos determinar a deflexão quando x = L / 2 , temos:

δ c = P E I 1 - L x 2 16 + L 2 x 16 - L 3 768

δ c = P E I 1 - L L 2 2 16 + L 2 L 2 16 - L 3 768

δ c = P E I 1 - L 3 64 + L 3 32 - L 3 768

δ c = 11 P L 3 768 E I 1

Só que, como I 1 = b h 3 / 12 , temos:

δ c = 11 P L 3 768 E b h 3 12

δ c = 11 P L 3 64 E b h 3

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ c = 11 P L 3 64 E b h 3

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