Enunciado

Na viga representa na Figura, tem-se q = 8,3333   k g f / m , P = 5000   k g f . Os momentos de inércia nos três vãos são I 1 = 93750   c m 4 ; I 2 = 46785   c m 4 e I 3 = 281250   c m 4 . Sem o carregamento, o apoio 3 tem uma folga vertical ∆ = 2,5   m m . Achar os momentos fletores M 1 , M 2 e M 3 na viga.

Passo 1

Fala aí, galerinha!!

Temos o seguinte:

Primeiro é importante ressaltar que temos 4 forças de reação e por isso trata-se de um viga estaticamente indeterminada. Consequentemente, vamos ter de utilizar a equação da linha elástica como na nossa quarta equação. Caso não lembre a equação é dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então partiu resolver!

Passo 2

Nós já fizemos o diagrama de corpo livre e agora vamos utilizar as três equações das estática para determinar as três primeira equações:

Perceba que o carregamento foi dividido em dois carregamentos, também triangulares, e simétricos a qual cada um exerce uma força de valor F 1 . Onde cada força tem o valor de:

F 1 = q L 2

Utilizando as três equações vamos ter:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y + C y = 2 F 1

    A y + B y + C y = w L

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

- F 1 × 2 L 3 + B y × L - F 1 × 5 L 3 + ( C y × 2 L ) = 0

B y × L + C y × 2 L = w L 2 × 7 L 3

B y + 2 C y = 7 w L 6

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força B x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Então a gente precisa da equação do momento fletor M . Para tal vamos fazer um corte e obter:

Agora temos de achar a equação que define o carregamento. A gente sabe que quandi x = 0 o carregamento também vale zero e quando x = L o carregamento vale w 0 . Como trata-se de uma variação linear então vamos ter:

w x = x L w 0

Show! Agora é só aplicar o somatório dos momentos exatamente no ponto do corte (fazemos isso para não precisar calcular a força cortante). Considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M = 0

Lembrando que a força concentrada vale a metade do carregamento máximo vezes o comprimento:

F = w 0 x 2 L . x = w 0 x 2 2 L

E atua numa distância de 2 / 3 do ponto A , sendo assim:

A y × x - w 0 x 2 2 L × 1 3 x - M = 0

Logo, a equação do momento fleotr pode ser dada por:

M x = A y x - w 0 x 3 6 L

Prontinho, temos nossa função do momento fletor!

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = A y x - w 0 x 3 6 L

Agora vamos derivar a primeira vez.

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ A y x - w 0 x 3 6 L   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = A y 2 x 2 - w 0 x 4 24 L + C 1  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ A y 2 x 2 - w 0 x 4 24 L + C 1     d x  

E I .   y = A y 6 x 3 - w 0 x 5 120 L + C 1 . x + C 2  

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No ponto A :

x = 0 →   y = 0

No ponto B

x = L →   y = 0

No ponto C :

x = 2 L →   y = 0

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • E I .   y = A y 6 x 3 - w 0 x 5 120 L + C 1 . x + C 2  

    E I . ( 0 ) = A y 6 0 3 - w 0 0 5 120 L + C 1 . ( 0 ) + C 2  

    C 2 = 0

  • x = L → y = 0
  • E I .   y = A y 6 x 3 - w 0 x 5 120 L + C 1 . x  

    E I .   ( 0 ) = A y 6 ( L ) 3 - w 0 ( L ) 5 120 L + C 1 . L  

    C 1 = w 0 L 3 120 - A y L 2 6

  • x = 2 L → y = 0

E I .   y = A y 6 x 3 - w 0 x 5 120 L + w 0 L 3 120 - A y L 2 6 . x  

E I .   ( 0 ) = A y 6 ( 2 L ) 3 - w 0 ( 2 L ) 5 120 L + w 0 L 3 120 - A y L 2 6 . ( 2 L )  

0 = 8 A y L 3 6 - 32 w 0 L 4 120 + 2 w 0 L 4 120 - 2 A y L 3 6  

Reorganizando nós temos:

4 A y 3 - A y 3 = w 0 L 4  

Perceberam que agora temos mais uma equação? Essa equação junto com aquelas lá de cima vão fornecer os valores de A y ,   B y   e   C y .

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y + C y = w L

A x = 0

B y + 2 C y = 7 w L 6

4 A y 3 - A y 3 = w 0 L 4  

Resolvendo nós vamos ter que:

M 1 = - 27750   k g f ⋅ m

M 2 = - 19500   k g f ⋅ m

M 3 = - 3971   k g f ⋅ m

A primeira parte do problema já foi, agora é só achar os diagramas!

Resposta

M 3 = - 3971   k g f ⋅ m

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