Para a viga representada na Fig. 6-15a e admitindo que o momento de inércia das partes da extremidade seja I 1 e que da parte central seja I 2 , calcular a deflexão δ c no meio da viga.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta questão é basicamente a questão 6.6-1, só que devemos considerar as seções com momentos de inércia distintos. E com isto, no final, devemos determinar a deflexão do meio da viga.

Sendo assim, vamos começar escrevendo a equação da linha elástica das vigas! Relembrando, as equações são:

E I 1 v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 2 v ' ' = - P x 2 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Já as quatro condições de contorno são: quando x = 0 , v = 0 ; quando x = L / 2 , v ' = 0 ; quando x = L / 4 , a inclinação e a deflexão calculada por ambas as equações são idênticas.

Agora que já sabemos tudo, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar integrando as nossas equações diferenciais. Portanto,

E I 1 v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 2 v ' ' = - P x 2 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I 1 v ' = - P x 2 4 + C 1 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 2 v ' = - P x 2 4 + C 3 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I 1 v = - P x 3 12 + C 1 x + C 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E I 2 v = - P x 3 12 + C 3 x + C 4 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Passo 3

Agora nós temos que aplicar as condições de contorno. Começando por v = 0 quando x = 0 , temos:

E I 1 v = - P x 3 12 + C 1 x + C 2

0 = C 2

E assim descobrimos a nossa primeira constante! Já para v ' = 0 quando x = L / 2 , temos:

E I 2 v ' = - P x 2 4 + C 3

0 = - P L 2 16 + C 3

C 3 = P L 2 16

Agora precisamos aplicar as duas condições de contorno que nos restam. Portanto, igualando a inclinação e deflexão das duas partes quando x = L / 4 , teremos:

1 E I 1 - P L 4 2 4 + C 1 = 1 E I 2 - P L 4 2 4 + P L 2 16 1 E I 1 - P L 4 3 12 + C 1 L 4 = 1 E I 2 - P L 4 3 12 + P L 2 16 L 4 + C 4

- P L 2 64 + C 1 = I 1 I 2 - P L 2 64 + P L 2 16 - P L 3 768 + C 1 L 4 = I 1 I 2 - P L 3 768 + P L 3 64 + C 4

Da primeira equação nós obtemos que C 1 = P L 2 64 + 3 P L 2 64 I 1 I 2 . Já da segunda equação nós obtemos que C 4 = - P L 3 384 + P L 3 384 I 2 I 1 .

Sendo assim, a equação da linha elástica da metade esquerda da viga é:

v = P E I 1 - x 3 12 + P L 2 64 x + 3 P L 2 64 I 1 I 2 x ,     0 ≤ x ≤ L 4 v = P E I 2 - x 3 12 + P L 2 16 x - P L 3 384 + P L 3 384 I 2 I 1 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Passo 4

E por fim, como nós queremos determinar a deflexão quando x = L / 2 , temos:

δ c = P E I 2 - L 3 96 + P L 3 32 - P L 3 384 + P L 3 384 I 2 I 1

δ c = P E I 2 7 P L 3 384 + P L 3 384 I 2 I 1

δ c = P L 3 384 E I 1 1 + 7 I 1 I 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ c = P L 3 384 E I 1 1 + 7 I 1 I 2

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