Para a viga representada na Fig. 7-2, calcular as reações, resolvendo a equação diferencial de segunda ordem da linha elástica e tomando o momento M a como redundante.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos resolver o caso da viga da Fig. 7-2, que está submetida engastada que está submetida a um carregamento constante q e tem um apoio na sua extremidade livre.

É exatamente a questão desenvolvida durante a seção 7.2. Só que aqui nós devemos resolver a equação da linha elástica utilizando o momento M a como redundante e.

Com isto, as reações R a e R b escritas como função de M a serão:

R b = q L 2 - M a L R a = q L 2 + M a L

Com isto, o momento fletor da viga será:

M = R a x - M a - q x 2 2

M = q L x 2 + M a x L - 1 - q x 2 2

E com isto, a equação da linha elástica será:

E I v ' ' = - M

E I v ' ' = - q L x 2 - M a x L - 1 + q x 2 2

Passo 2

Agora nós precisamos resolver a EDO. Para isto, temos que integrar ela duas vezes. Logo,

E I v ' ' = - q l x 2 - M a x L - 1 + q x 2 2

E I v ' = - q L x 2 4 - M a x 2 2 L - x + q x 3 6 + C 1

E I v = - q L x 3 12 - M a x 3 6 L - x 2 2 + q x 4 24 + C 1 x + C 2

E assim chegamos a uma equação com três incógnitas ( M a , C 1 e C 2 ). Para descobrirmos estas incógnitas, temos que utilizar as três condições que temos para o problema: v 0 = 0 , v ' 0 = 0 e v L = 0 . Fazendo esta devida substituição, teremos o seguinte sistema:

v 0 = 0 v ' 0 = 0 v L = 0 ⟹ C 2 = 0 C 1 = 0 - q L 4 12 - M a L 3 6 L - L 2 2 + q L 4 24 = 0

Resolvendo a terceira equação nós temos que M a = q L 2 / 8 . E com isto, os valores das reações são:

R b = q L 2 - M a L = 3 q L 8 R a = q L 2 + M a L = 5 q L 8

E assim finalizamos a questão!

Resposta

M a = q L 2 8 R b = 3 q L 8 R a = 5 q L 8

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