Deduzir a equação da linha elástica e calcular as reações para uma viga biengastada com carga uniformemente distribuída (ver a Fig. 7-9).

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica e as reações dos apoios para o caso da viga da Fig. 7-9, o qual é uma viga biengastada submetida a um carregamento constante q .

Vamos partir então da equação diferencial de quarta ordem da linha elástica! Relembrando, ela será:

E I v ' ' ' ' = q x

E I v ' ' ' ' = q

Bom, o resto da questão consiste em bastante integração e substituição das condições de contorno!

Então, vamos as contas!

Passo 2

Agora nós precisamos resolver a EDO. Para isto, temos que integrar ela quatro vezes. Logo,

E I v ' ' ' ' = q

E I v ' ' ' = q x + C 1

E I v ' ' = q x 2 2 + C 1 x + C 2

E I v ' = q x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

E I v = q x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

E assim chegamos a uma equação com quatro incógnitas ( C 1 , C 2 , C 3 e C 4 ). Para descobrirmos estas incógnitas, temos que utilizar as quatro condições que temos para o problema: v 0 = 0 , v ' 0 = 0 , v ' L = 0 e v L = 0 . Fazendo esta devida substituição, teremos o seguinte sistema:

v 0 = 0 v ' 0 = 0 v ' L = 0 v L = 0 ⟹ C 4 = 0 C 3 = 0 q L 3 6 + C 1 L 2 2 + C 2 L = 0 q L 4 24 + C 1 L 3 6 + C 2 L 2 2 = 0

Através das duas últimas equações nós obtemos que C 1 = - q L / 2 e C 2 = q L 2 / 12 . Sendo assim, a equação da linha elástica será:

E I v = q x 4 24 - q L x 3 12 + q L 2 x 2 24

E I v = q x 2 x 2 - 2 L x + L 2 24

v = q x 2 x - L 2 24 E I

E assim chegamos na equação da linha elástica!

Passo 3

Mas calma que a gente ainda não terminou a questão! Precisamos obter as reações em A e B. Para isto, vamos ter que trabalhar com a terceira e quarta derivada da linha elástica, pois:

E I v ' ' ' = - V E I v ' ' = - M ⟹ q x - q L 2 = - V q x 2 2 - q L x 2 + q L 2 12 = - M

Calculando o momento fletor e esforço constante em x = 0 , temos:

R a = q L 2

M a = - q L 2 12

Já os esforços em B ( x = L ) serão:

R b = q L - q L 2 = q L 2

M b = M a = - q L 2 12

E assim finalizamos a questão!

Resposta

R a = R b = q L 2

M b = M a = - q L 2 12

Ver Outros Exercícios desse livro