Para a viga representada na figura, deduzir a equação da linha elástica e determinar todas as reações.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica e as reações dos apoios para o caso da viga da figura do enunciado da questão.

Vamos partir da equação diferencial de quarta ordem da linha elástica! Relembrando, ela será:

E I v ' ' ' ' = q x

Como temos um carregamento triangular q x = - q 0 x L + q 0 , temos:

E I v ' ' ' ' = - q 0 x L + q 0

Bom, o resto da questão consiste em bastante integração e substituição das condições de contorno!

Então, vamos as contas!

Passo 2

Agora nós precisamos resolver a EDO. Para isto, temos que integrar ela quatro vezes. Logo,

E I v ' ' ' ' = q

E I v ' ' ' ' = - q 0 x L + q 0

E I v ' ' ' = - q 0 x 2 2 L + q 0 x + C 1

E I v ' ' = - q 0 x 3 6 L + q 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

E I v ' = - q 0 x 4 24 L + q 0 x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

E I v = - q 0 x 5 120 L + q 0 x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

E assim chegamos a uma equação com quatro incógnitas ( C 1 , C 2 , C 3 e C 4 ). Para descobrirmos estas incógnitas, temos que utilizar as quatro condições que temos para o problema: v 0 = 0 , v ' 0 = 0 , v ' L = 0 e v L = 0 . Fazendo esta devida substituição, teremos o seguinte sistema:

v 0 = 0 v ' 0 = 0 v ' L = 0 v L = 0 ⟹ C 4 = 0 C 3 = 0 q 0 L 3 8 + C 1 L 2 2 + C 2 L = 0 q 0 L 4 30 + C 1 L 3 6 + C 2 L 2 2 = 0

Através das duas últimas equações nós obtemos que C 1 = - 7 q 0 L 20 e C 2 = q 0 L 2 2 0 . Sendo assim, a equação da linha elástica será:

v = 1 E I - q 0 x 5 120 L + q 0 x 4 24 - 7 q 0 L x 3 120 + q 0 L 2 x 2 4 0

v = q 0 x 2 - x 3 + 5 L x 2 - 7 L 2 x + 3 L 3 120 L E I

Passo 3

Mas calma que a gente ainda não resolveu a questão! Precisamos obter as reações em A e B. Para isto, vamos ter que trabalhar com a terceira e quarta derivada da linha elástica, pois:

E I v ' ' ' = - V E I v ' ' = - M ⟹ - q 0 x 2 2 L + q 0 x - 7 q 0 L 20 = - V - q 0 x 3 6 L + q 0 x 2 2 - 7 q 0 L x 20 + q 0 L 2 20 = - M

Portanto, se calcularmos o esforço cortante para o ponto x = 0 teremos a reação R a . Já se calcularmos o momento fletor em x = 0 , teremos o momento M a .

Então, temos:

R a = 7 q 0 L 20

M a = q 0 L 2 20

Por fim, para calcularmos a reação R b , temos:

R b = q 0 L 2 - 7 q 0 L 20 = 3 q 0 L 2 0

M b = q 0 L 2 ⋅ L 3 - R b ⋅ L - M a = q 0 L 2 30

E assim finalizamos a quest��o!

Resposta

v = q 0 x 2 - x 3 + 5 L x 2 - 8 L 2 x + 4 L 3 120 L E I

R a = 7 q 0 L 20 M a = q 0 L 2 20 R b = 3 q 0 L 20 M b = q 0 L 2 30

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