Para a viga representada na figura, determinar as reações e a equação da linha elástica. A carga é o conjugado M 0 que atua em B .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica e as reações dos apoios para o caso da viga da figura do enunciado da questão.

De início, vamos começar utilizando as equações da estática para obtermos relações entre as reações. Portanto,

∑ F y   = 0 ∑ M R A   = 0 ⟹ R a = - R b M a = - R b L - M 0

Com isto, a equação do momento fletor da viga será:

M = - M a + R a x

M = R b L + M 0 - R b x

Vamos tomar aqui a reação R b como redundante.

Passo 2

Agora que nós obtivemos a equação de momento fletor da viga, já podemos partir para a obtenção da equação da linha elástica.

Partindo da EDO de segunda ordem, temos:

E I v ' ' = - M

E I v ' ' = - R b L - M 0 + R b x

E I v ' = - R b L x - M 0 x + R b x 2 2 + C 1

E I v = - R b L x 2 2 - M 0 x 2 2 + R b x 3 6 + C 1 x + C 2

E assim chegamos a uma equação com três incógnitas ( C 1 , C 2 e R b ). Para descobrirmos estas incógnitas, temos que utilizar as três condições que temos para o problema: v 0 = 0 , v ' 0 = 0 e v L = 0 . Fazendo esta devida substituição, teremos o seguinte sistema:

v 0 = 0 v ' 0 = 0 v L = 0 ⟹ C 2 = 0 C 1 = 0 - R b L 3 2 - M 0 L 2 2 + R b L 3 6 = 0

Através da última equação nós obtemos que R b = - 3 M 0 / 2 L .

Então, através das equações da estática desenvolvidas no Passo 1, temos que as outras reações são:

R a = - R b = 3 M 0 2 L M a = - R b L - M 0 = M 0 2

E a equação da linha elástica será:

v = M 0 x 2 4 E I 1 - x L

E assim finalizamos a questão!

Resposta

v = M 0 x 2 4 E I 1 - x L

R a = - R b = 3 M 0 2 L M a = M 0 2

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