Um balão esférico esta sendo esvaziado a uma taxa de 4   m 3 / s . Encontre a taxa de decrescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 10   m .

Passo 1

O volume do balão é dado por

V = 4 π 3 r ³

A taxa de esvaziamento nada mais é do que a derivada do volume em relação ao tempo. Por isso, vamos chama-la de

V ' = - 4

Queremos a taxa de decrescimento do raio quando

D = 10

2 r = 10

r = 5

Portanto, queremos a derivada de r quando r = 5 .

Passo 2

Derivando a equação do volume, obtemos uma expressão com a incógnita desejada, r ' .

V ' = 4 π 3 3 r 2 r '

Vamos substituir V ' = - 4 e r = 5 .

- 4 = 4 π 3 3 ( 5 ) ² r '

- 4 = 4 π ( 25 ) r '

- 1 = 25 π r '

r ' = - 1 25 π   m / s

Resposta

r ' = - 1 25 π   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2,1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre que
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s