Um cristal cúbico simples mostra picos a 2 theta=31.0^circ, 50.3^circ, e 69.1^circ. Calcule os planos cristalográficos (hkl) e determine o parâmetro de rede (a) do cristal. Use um comprimento de onda de 1.54 AA.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cristal cúbico simples que mostra picos de difração em certos ângulos ( ), e precisamos descobrir quais são os planos cristalográficos e o parâmetro de rede do cristal. Para isso, vamos usar a Lei de Bragg e alguns conceitos de cristalografia.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a Lei de Bragg, que nos ajuda a relacionar o comprimento de onda ( nlambda = 2dsintheta ) da radiação usada e os ângulos dos picos de difração ( lambda = 2dsintheta ) com o espaçamento entre os planos cristalográficos ( ). A fórmula é:
Como geralmente consideramos o primeiro pico ( ), podemos simplificar para:

Passo 3

Precisamos calcular o valor de theta = 2theta2 para cada pico. Como temos theta1 = 31.0^circ2 = 15.5^circ , dividimos por 2:
theta2 = 50.3^circ2 = 25.15^circ
Aplicando isso aos nossos picos:
theta3 = 69.1^circ2 = 34.55^circ

Passo 4

Agora, vamos calcular os espacamentos d = lambda2sintheta usando a Lei de Bragg rearranjada:
d1 = 1.54,AA2sin(15.5^circ) approx 1.542 times 0.2676 approx 1.540.5352 approx 2.88,AA
Substituindo os valores:
d2 = 1.54,AA2sin(25.15^circ) approx 1.542 times 0.4274 approx 1.540.8548 approx 1.80,AA
d3 = 1.54,AA2sin(34.55^circ) approx 1.542 times 0.5633 approx 1.541.1266 approx 1.37,AA

Passo 5

Para um cristal cúbico simples, a relação entre dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2 e o parâmetro de rede 1d1^2 = 1(2.88)^2 approx 0.120,AA^-2 é dada por:
1d2^2 = 1(1.80)^2 approx 0.308,AA^-2
Isso significa que o inverso dos quadrados dos espaçamentos 1d3^2 = 1(1.37)^2 approx 0.533,AA^-2 será proporcional a . Vamos calcular para cada pico:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as razões entre esses valores para identificar os índices 1/d2^21/d1^2 approx 0.3080.120 approx 2.567 approx 52 . Comparando os valores:
1/d3^21/d1^2 approx 0.5330.120 approx 4.442 approx 92
(100): 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
Isso sugere que os valores de (110): 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 são proporcionais a 2, 5, 9, etc. Os índices possíveis que satisfazem essa condição para um cristal cúbico simples são:
(111): 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
(200): 2^2 + 0^2 + 0^2 = 4
Mas observando os nossos valores calculados, parece que estamos lidando com os planos , , e , ajustando as proporções.

Passo 7

Vamos assumir que o primeiro pico corresponde ao plano , o segundo ao e o terceiro ao .

Passo 8

Agora que temos os planos d110 = araiz1^2 + 1^2 + 0^2 = araiz2 , podemos usar qualquer um deles para calcular o parâmetro de rede a = d110 times raiz2 approx 2.88,AA times 1.414 approx 4.08,AA . Vamos usar o primeiro pico e o plano :
Resolvendo para :

Resposta

Os planos cristalográficos são , e , e o parâmetro de rede do cristal é aproximadamente .

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