a. A matriz de deformações no plano tangente à superfície da peça;
b. A matriz de deformações completa (3D) no ponto;
c. A matriz de tensões completa no ponto;
d. As três tensões principais no ponto;
e. A tensão cisalhante máxima ( ).
Deformações lidas nos extensômetros:
Propriedades do material:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com deformações e tensões em uma peça. A gente vai precisar entender de mecânica dos materiais, mais especificamente sobre matrizes de deformação e tensão. Vamos usar as deformações medidas nos extensômetros e as propriedades do material para calcular tudo o que foi pedido.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de deformações no plano tangente à superfície da peça. No plano tangente, consideramos apenas duas direções principais, digamos x e y. As deformações medidas são:
Vou assumir que e correspondem aos eixos x e y no plano tangente.
Passo 3
A matriz de deformações no plano tangente é uma matriz 2x2 onde colocamos as deformações normais nas diagonais e a deformação de cisalhamento nas posições fora da diagonal. Como não temos deformação de cisalhamento medida no plano, vamos considerar zero. Então:
$$
\boldsymbol{\varepsilon_{plano}} =
$$
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz de deformações completa em 3D. Aqui, consideramos a direção perpendicular ao plano tangente, que é a direção z. A deformação nessa direção é . Então, a matriz 3D fica:
$$
\boldsymbol{\varepsilon_{3D}} =
$$
Passo 5
Para encontrar a matriz de tensões completa no ponto, precisamos usar a relação entre tensões e deformações. Vamos usar a Lei de Hooke para materiais isotrópicos em 3D:
sigma = lambda (tr(varepsilon)) I + 2G varepsilon
Onde:
lambda é o primeiro módulo de Lamé,
G é o módulo de cisalhamento,
tr(varepsilon) é a trça da matriz de deformações (soma das deformações normais),
I é a matriz identidade.
Primeiro, vamos calcular os módulos de Lamé:
G = E2(1 + v) = 208 times 10^3 MPa2(1 + 0.3) = 208 times 10^32.6 approx 80 times 10^3 MPa
Usando a relação entre E, v e lambda:
lambda = E v(1 + v)(1 - 2v) = 208 times 10^3 times 0.3(1 + 0.3)(1 - 0.6) = 62.4 times 10^31.3 times 0.4 approx 120 times 10^3 MPa
Agora, calculamos a trça:
tr(varepsilon) = varepsilona + varepsilonb + varepsilonc = 10^-3 - 10^-3 + 2 times 10^-3 = 2 times 10^-3
Então, a matriz de tensões fica:
sigma = 120 times 10^3 times 2 times 10^-3 times 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 2 times 80 times 10^3 times 10^-3 & 0 & 0 0 & -10^-3 & 0 0 & 0 & 2 times 10^-3
Por fim, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima (taumáxá). A tensão de cisalhamento máxima em um estado de tensões principal é dada pela diferença máxima entre as tensões principais dividida por 2: