a. A matriz de deformações no plano tangente à superfície da peça;
b. A matriz de deformações completa (3D) no ponto;
c. A matriz de tensões completa no ponto;
d. As três tensões principais no ponto;
e. A tensão cisalhante máxima ( tau máx á ).
Deformações lidas nos extensômetros:
varepsilona & =10^-3 mm / mm varepsilonb & =-10^-3 mm / mm varepsilonc & =2.10^-3 mm / mm
Propriedades do material:
E=208, G P a v=0,30

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com deformações e tensões em uma peça. A gente vai precisar entender de mecânica dos materiais, mais especificamente sobre matrizes de deformação e tensão. Vamos usar as deformações medidas nos extensômetros e as propriedades do material para calcular tudo o que foi pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de deformações no plano tangente à superfície da peça. No plano tangente, consideramos apenas duas direções principais, digamos x e y. As deformações medidas são:
varepsilona & =10^-3 varepsilonb & =-10^-3 varepsilonc & =2 times 10^-3
Vou assumir que varepsilona e varepsilonb correspondem aos eixos x e y no plano tangente.

Passo 3

A matriz de deformações no plano tangente é uma matriz 2x2 onde colocamos as deformações normais nas diagonais e a deformação de cisalhamento nas posições fora da diagonal. Como não temos deformação de cisalhamento medida no plano, vamos considerar zero. Então:

$$
\boldsymbol{\varepsilon_{plano}} =
varepsilonplano = varepsilona & 0 0 & varepsilonb = 10^-3 & 0 0 & -10^-3

$$

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de deformações completa em 3D. Aqui, consideramos a direção perpendicular ao plano tangente, que é a direção z. A deformação nessa direção é varepsilonc = 2 times 10^-3. Então, a matriz 3D fica:

$$
\boldsymbol{\varepsilon_{3D}} =
varepsilon3D = varepsilona & 0 & 0 0 & varepsilonb & 0 0 & 0 & varepsilonc = 10^-3 & 0 & 0 0 & -10^-3 & 0 0 & 0 & 2 times 10^-3

$$

Passo 5

Para encontrar a matriz de tensões completa no ponto, precisamos usar a relação entre tensões e deformações. Vamos usar a Lei de Hooke para materiais isotrópicos em 3D:
sigma = lambda (tr(varepsilon)) I + 2G varepsilon
Onde:
  • lambda é o primeiro módulo de Lamé,
  • G é o módulo de cisalhamento,
  • tr(varepsilon) é a trça da matriz de deformações (soma das deformações normais),
  • I é a matriz identidade.
Primeiro, vamos calcular os módulos de Lamé:
G = E2(1 + v) = 208 times 10^3 MPa2(1 + 0.3) = 208 times 10^32.6 approx 80 times 10^3 MPa
Usando a relação entre E, v e lambda:
lambda = E v(1 + v)(1 - 2v) = 208 times 10^3 times 0.3(1 + 0.3)(1 - 0.6) = 62.4 times 10^31.3 times 0.4 approx 120 times 10^3 MPa
Agora, calculamos a trça:
tr(varepsilon) = varepsilona + varepsilonb + varepsilonc = 10^-3 - 10^-3 + 2 times 10^-3 = 2 times 10^-3
Então, a matriz de tensões fica:
sigma = 120 times 10^3 times 2 times 10^-3 times 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 2 times 80 times 10^3 times 10^-3 & 0 & 0 0 & -10^-3 & 0 0 & 0 & 2 times 10^-3
Simplificando:

$$
\boldsymbol{\sigma} =
sigma = 240 & 0 & 0 0 & 240 & 0 0 & 0 & 240 + 160 & 0 & 0 0 & -160 & 0 0 & 0 & 320 = 400 & 0 & 0 0 & 80 & 0 0 & 0 & 560 MPa
+

MPa
$$

Passo 6

Agora, vamos encontrar as três tensões principais. Como a matriz de tensões é diagonal, as tensões principais são simplesmente os valores na diagonal:
sigma1 = 560 MPa, sigma2 = 400 MPa, sigma3 = 80 MPa

Passo 7

Por fim, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima ( taumáxá). A tensão de cisalhamento máxima em um estado de tensões principal é dada pela diferença máxima entre as tensões principais dividida por 2:
taumáx = sigmamáx - sigmamín2 = 560 - 802 = 240 MPa ááí

Resposta

a. Matriz de deformações no plano tangente:
10^-3 & 0 0 & -10^-3
b. Matriz de deformações completa (3D):
10^-3 & 0 & 0 0 & -10^-3 & 0 0 & 0 & 2 times 10^-3
c. Matriz de tensões completa no ponto:
400 & 0 & 0 0 & 80 & 0 0 & 0 & 560 MPa
d. As três tensões principais são:
sigma1 = 560 MPa, sigma2 = 400 MPa, sigma3 = 80 MPa
e. A tensão de cisalhamento máxima ( taumáxá) é:
taumáx = 240 MPa á

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