Obtenha a Lei de Hooke Generalizada (LHG) para um MELI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente obter a Lei de Hooke Generalizada (LHG) para um MELI. Então, estamos lidando com a Lei de Hooke, que relaciona força e deformação em materiais elásticos. A matéria aqui envolve mecânica dos materiais, especificamente a teoria da elasticidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como generalizar a Lei de Hooke para situações mais complexas, usando tensores de tensão e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Hooke básica. Ela diz que a tensão (força por área) é proporcional à deformação (mudança relativa no comprimento). Matematicamente, é expressa como:
sigma = E cdot varepsilon
onde é a tensão, é o módulo de Young, e é a deformação.

Passo 3

Agora, para generalizar essa lei, precisamos considerar que em um corpo tridimensional, as tensões e deformações ocorrem em várias direções. Por isso, usamos tensores para representar essas grandezas. Um tensor de tensão e um tensor de deformação capturam todas as componentes necessárias.

Passo 4

A Lei de Hooke Generalizada relaciona esses tensores através de um tensor de rigidez sigma = C : varepsilon . A relação fica assim:
Aqui, o símbolo “:” representa o produto duplo de tensores, que combina as componentes de com as de .

Passo 5

Para um material isotrópico (que tem as mesmas propriedades em todas as direções, que é o caso do MELI), o tensor de rigidez sigma = E(1+nu)(1-2nu) [ (1-nu) varepsilon + nu tr(varepsilon) I ] pode ser expresso em função de dois parâmetros: o módulo de Young e o coeficiente de Poisson . A expressão fica:
onde é o traço do tensor de deformação (a soma das deformações nas três direções) e é o tensor identidade.

Resposta

A Lei de Hooke Generalizada para um MELI é dada por:
sigma = E(1+nu)(1-2nu) [ (1-nu) varepsilon + nu , tr(varepsilon) , I ]

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