Obtenha a Lei de Hooke Generalizada (LHG) para um MELI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente obter a Lei de Hooke Generalizada (LHG) para um MELI. Então, estamos lidando com a Lei de Hooke, que relaciona força e deformação em materiais elásticos. A matéria aqui envolve mecânica dos materiais, especificamente a teoria da elasticidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como generalizar a Lei de Hooke para situações mais complexas, usando tensores de tensão e deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Hooke básica. Ela diz que a tensão (força por área) é proporcional à deformação (mudança relativa no comprimento). Matematicamente, é expressa como:
onde
é a tensão,
é o módulo de Young, e
é a deformação.
Passo 3
Agora, para generalizar essa lei, precisamos considerar que em um corpo tridimensional, as tensões e deformações ocorrem em várias direções. Por isso, usamos tensores para representar essas grandezas. Um tensor de tensão
e um tensor de deformação
capturam todas as componentes necessárias.
Passo 4
A Lei de Hooke Generalizada relaciona esses tensores através de um tensor de rigidez
. A relação fica assim:
Aqui, o símbolo “:” representa o produto duplo de tensores, que combina as componentes de
com as de
.
Passo 5
Para um material isotrópico (que tem as mesmas propriedades em todas as direções, que é o caso do MELI), o tensor de rigidez
pode ser expresso em função de dois parâmetros: o módulo de Young
e o coeficiente de Poisson
. A expressão fica:
onde
é o traço do tensor de deformação (a soma das deformações nas três direções) e
é o tensor identidade.
Resposta
A Lei de Hooke Generalizada para um MELI é dada por: