Mostre que os vetores da rede recíproca para uma rede cúbica simples são dados por b1=2 pia imath, b2=2 pia jmath, e b3=2 pia k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os vetores da rede recíproca de uma rede cúbica simples são , e . Vamos usar conceitos de redes cristalinas e redes recíprocas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma rede recíproca. Em cristalografia, para cada rede direta (a estrutura real do cristal), existe uma rede recíproca que é útil para estudar propriedades como difração de raios X. Os vetores da rede recíproca são calculados a partir dos vetores da rede direta.

Passo 3

Como estamos lidando com uma rede cúbica simples, os vetores da rede direta são:
a1 = a imath, a2 = a jmath, a3 = a k
Aqui, é o parâmetro de rede, ou seja, o comprimento de cada aresta do cubo.

Passo 4

Para encontrar os vetores da rede recíproca, usamos a fórmula:
bi = 2pi aj times aka1 cdot (a2 times a3)
onde são todos diferentes entre si.

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
a1 cdot (a2 times a3) = a imath cdot (a jmath times a k) = a imath cdot (a^2 imath) = a^3

Passo 6

Agora, calculamos b1 = 2pi a2 times a3a^3 = 2pi a jmath times a ka^3 = 2pi a^2 imatha^3 = 2pia imath :

Passo 7

De forma similar, calculamos b2 = 2pi a3 times a1a^3 = 2pia jmath e b3 = 2pi a1 times a2a^3 = 2pia k :

Resposta

Os vetores da rede recíproca para uma rede cúbica simples são:
b1 = 2pia imath, b2 = 2pia jmath, b3 = 2pia k

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