Um cristal cúbico de corpo centrado (BCC) mostra picos de difração a
(
). Determine os planos cristalográficos (hkl) e calcule o parâmetro de rede (a) do cristal. Use um comprimento de onda de 1.54 Å.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um cristal cúbico de corpo centrado (BCC) que mostra picos de difração em ângulos
,
e
. Nosso objetivo é descobrir quais são os planos cristalográficos (hkl) correspondentes a esses picos e calcular o parâmetro de rede
do cristal, usando um comprimento de onda
Å. Para isso, vamos usar a Lei de Bragg e as relações geométricas dos cristais cúbicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Bragg, que relaciona o comprimento de onda, o espaçamento entre os planos cristalográficos e o ângulo de difração:
Aqui,
é a ordem de difração (vamos considerar
),
é o comprimento de onda da radiação,
é o espaçamento entre os planos, e
é a metade do ângulo
fornecido no enunciado.
Passo 3
Vamos calcular o ângulo
para cada pico de difração dividindo
por 2:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Bragg para encontrar o espaçamento
para cada pico:
Como
e
Å, substituímos os valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Em um cristal cúbico, o espaçamento entre planos
está relacionado ao parâmetro de rede
e aos índices de Miller
pela fórmula:
Como estamos lidando com um cristal BCC, os índices de Miller para as reflexões permitidas são aqueles onde
,
,
são todos pares ou todos ímpares. Vamos relacionar os valores de
que calculamos às possíveis combinações de
.
Passo 6
Vamos considerar os valores de
para diferentes planos comuns em BCC:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Agora, relacionamos cada
com esses valores:
-
Å corresponde a : -
Å corresponde a : -
Å corresponde a :
Passo 7
Observamos que os valores de
obtidos são próximos, mas um pouco diferentes devido a arredondamentos nos cálculos. Para uma maior precisão, podemos calcular a média desses valores:
Resposta
Os planos cristalográficos correspondentes aos picos de difração são
,
e
, e o parâmetro de rede do cristal é aproximadamente
.