Um cristal cúbico de corpo centrado (BCC) mostra picos de difração a 2 theta= ( 29.5^circ, 45.2^circ, e 56.4^circ ). Determine os planos cristalográficos (hkl) e calcule o parâmetro de rede (a) do cristal. Use um comprimento de onda de 1.54 Å.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um cristal cúbico de corpo centrado (BCC) que mostra picos de difração em ângulos 2 theta = 29.5^circ, 45.2^circ e 56.4^circ. Nosso objetivo é descobrir quais são os planos cristalográficos (hkl) correspondentes a esses picos e calcular o parâmetro de rede a do cristal, usando um comprimento de onda lambda = 1.54 Å. Para isso, vamos usar a Lei de Bragg e as relações geométricas dos cristais cúbicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Bragg, que relaciona o comprimento de onda, o espaçamento entre os planos cristalográficos e o ângulo de difração:
n lambda = 2 d sin theta
Aqui, n é a ordem de difração (vamos considerar n=1), lambda é o comprimento de onda da radiação, d é o espaçamento entre os planos, e theta é a metade do ângulo 2 theta fornecido no enunciado.

Passo 3

Vamos calcular o ângulo theta para cada pico de difração dividindo 2 theta por 2:
  1. Para 2 theta = 29.5^circ:
    theta = 29.5^circ2 = 14.75^circ
  2. Para 2 theta = 45.2^circ:
    theta = 45.2^circ2 = 22.6^circ
  3. Para 2 theta = 56.4^circ:
    theta = 56.4^circ2 = 28.2^circ

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Bragg para encontrar o espaçamento d para cada pico:
d = n lambda2 sin theta
Como n=1 e lambda = 1.54 Å, substituímos os valores:
  1. Para theta = 14.75^circ:
    d = 1 times 1.542 sin 14.75^circ approx 1.542 times 0.254 approx 1.540.508 approx 3.031 Å Å
  2. Para theta = 22.6^circ:
    d = 1 times 1.542 sin 22.6^circ approx 1.542 times 0.385 approx 1.540.770 approx 2.000 Å Å
  3. Para theta = 28.2^circ:
    d = 1 times 1.542 sin 28.2^circ approx 1.542 times 0.474 approx 1.540.948 approx 1.625 Å Å

Passo 5

Em um cristal cúbico, o espaçamento entre planos dhkl está relacionado ao parâmetro de rede a e aos índices de Miller (hkl) pela fórmula:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2
Como estamos lidando com um cristal BCC, os índices de Miller para as reflexões permitidas são aqueles onde h, k, l são todos pares ou todos ímpares. Vamos relacionar os valores de d que calculamos às possíveis combinações de (hkl).

Passo 6

Vamos considerar os valores de raizh^2 + k^2 + l^2 para diferentes planos comuns em BCC:
  1. Para (110):
    raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 approx 1.414
  2. Para (200):
    raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = 2
  3. Para (211):
    raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz6 approx 2.449
Agora, relacionamos cada d com esses valores:
  1. d approx 3.031 Å corresponde a (110):
    d110 = araiz2 implies a = d110 times raiz2 approx 3.031 times 1.414 approx 4.29 Å Å
  2. d approx 2.000 Å corresponde a (200):
    d200 = a2 implies a = d200 times 2 = 2.000 times 2 = 4.00 Å Å
  3. d approx 1.625 Å corresponde a (211):
    d211 = araiz6 implies a = d211 times raiz6 approx 1.625 times 2.449 approx 3.98 Å Å

Passo 7

Observamos que os valores de a obtidos são próximos, mas um pouco diferentes devido a arredondamentos nos cálculos. Para uma maior precisão, podemos calcular a média desses valores:
amédio = 4.29 + 4.00 + 3.983 approx 12.273 approx 4.09 Å éÅ

Resposta

Os planos cristalográficos correspondentes aos picos de difração são (110), (200) e (211), e o parâmetro de rede do cristal é aproximadamente a = 4.09 ÅÅ.

Exercícios relacionados