Partindo da questão #22.a, obtenha a parcela do vetor diferença de deslocamentos ( de) que é somente na direção longitudinal ao filamento (na direção do versor que define sua direção). Denote essa grandeza escalar como de. Observe que essa parcela representa o alongamento total do filamento. Assim:
a. A partir desse valor e do comprimento total do filamento, obtenha a expressão que fornece a deformação longitudinal do filamento que está com uma inclinação theta qualquer. Denote-a varepsilontheta.
b. Aplique essa expressão aos filamentos colineares com as duas direções Cartesianas (com vistas à validação do resultado).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que partir de uma situação onde temos um vetor diferença de deslocamentos, de, e queremos encontrar a parte desse vetor que está na direção longitudinal do filamento, que é a direção do versor que define a direção do filamento. Chamaremos essa parte de de. Esse valor representa o alongamento total do filamento. A partir daí, na parte a, precisamos relacionar esse alongamento com o comprimento total do filamento para obter a deformação longitudinal, varepsilontheta, quando o filamento está inclinado em um ângulo qualquer theta. Na parte b, vamos verificar se essa expressão funciona para filamentos alinhados com as direções cartesianas, ou seja, nas direções x e y.
Matéria envolvida: Vetores, projeção de vetores, deformação longitudinal.
O que vamos precisar: Conceitos de projeção de vetores, geometria para relacionar o alongamento com o comprimento original do filamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como obter a parcela do vetor diferença de deslocamentos, de, que está na direção longitudinal do filamento. Isso significa projetar de na direção do versor que define o filamento. Para isso, usamos a projeção vetorial.
A projeção de de na direção de um versor e é dada por:
de
onde cdot representa o produto escalar.
Essa projeção nos dá a componente do deslocamento na direção do filamento, ou seja, o alongamento total.

Passo 3

Agora, queremos relacionar esse alongamento total, de, com o comprimento original do filamento, L, para encontrar a deformação longitudinal, varepsilontheta. A deformação é definida como a variação relativa do comprimento, então:
varepsilontheta = de
Substituindo a expressão da projeção que encontramos:
varepsilontheta = de
Essa é a expressão que relaciona a deformação longitudinal com o deslocamento e o comprimento do filamento inclinado em um ângulo theta.

Passo 4

Para expressar varepsilontheta em termos do ângulo de inclinação theta, consideramos que o versor e forma um ângulo theta com uma direção de referência (por exemplo, o eixo x). Então, a projeção do deslocamento pode ser escrita usando o cosseno do ângulo theta:
varepsilontheta = de
Aqui, de é a magnitude do deslocamento total de.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa expressão aos filamentos que estão colineares com as duas direções cartesianas, ou seja, com os eixos x e y.
Para o filamento alinhado ao eixo x ( theta = 0^circ):
varepsilon0 = de
Para o filamento alinhado ao eixo y ( theta = 90^circ):
varepsilon90 = de
Isso valida que quando o filamento está alinhado com o eixo x, a deformação é máxima, e quando está alinhado com o eixo y, a deformação longitudinal é nula, como esperado.

Resposta

A expressão que fornece a deformação longitudinal do filamento inclinado em um ângulo theta é:
varepsilontheta = de

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