Partindo da questão #22.a, obtenha a parcela do vetor diferença de deslocamentos (
) que é somente na direção longitudinal ao filamento (na direção do versor que define sua direção). Denote essa grandeza escalar como
. Observe que essa parcela representa o alongamento total do filamento. Assim:
a. A partir desse valor e do comprimento total do filamento, obtenha a expressão que fornece a deformação longitudinal do filamento que está com uma inclinação
qualquer. Denote-a
.
b. Aplique essa expressão aos filamentos colineares com as duas direções Cartesianas (com vistas à validação do resultado).
a. A partir desse valor e do comprimento total do filamento, obtenha a expressão que fornece a deformação longitudinal do filamento que está com uma inclinação
b. Aplique essa expressão aos filamentos colineares com as duas direções Cartesianas (com vistas à validação do resultado).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que partir de uma situação onde temos um vetor diferença de deslocamentos,
, e queremos encontrar a parte desse vetor que está na direção longitudinal do filamento, que é a direção do versor que define a direção do filamento. Chamaremos essa parte de
. Esse valor representa o alongamento total do filamento. A partir daí, na parte a, precisamos relacionar esse alongamento com o comprimento total do filamento para obter a deformação longitudinal,
, quando o filamento está inclinado em um ângulo qualquer
. Na parte b, vamos verificar se essa expressão funciona para filamentos alinhados com as direções cartesianas, ou seja, nas direções x e y.
Matéria envolvida: Vetores, projeção de vetores, deformação longitudinal.
O que vamos precisar: Conceitos de projeção de vetores, geometria para relacionar o alongamento com o comprimento original do filamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como obter a parcela do vetor diferença de deslocamentos,
, que está na direção longitudinal do filamento. Isso significa projetar
na direção do versor que define o filamento. Para isso, usamos a projeção vetorial.
A projeção de
na direção de um versor
é dada por:
onde
representa o produto escalar.
Essa projeção nos dá a componente do deslocamento na direção do filamento, ou seja, o alongamento total.
Passo 3
Agora, queremos relacionar esse alongamento total,
, com o comprimento original do filamento,
, para encontrar a deformação longitudinal,
. A deformação é definida como a variação relativa do comprimento, então:
Substituindo a expressão da projeção que encontramos:
Essa é a expressão que relaciona a deformação longitudinal com o deslocamento e o comprimento do filamento inclinado em um ângulo
.
Passo 4
Para expressar
em termos do ângulo de inclinação
, consideramos que o versor
forma um ângulo
com uma direção de referência (por exemplo, o eixo x). Então, a projeção do deslocamento pode ser escrita usando o cosseno do ângulo
:
Aqui,
é a magnitude do deslocamento total
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa expressão aos filamentos que estão colineares com as duas direções cartesianas, ou seja, com os eixos x e y.
Para o filamento alinhado ao eixo x (
):
Para o filamento alinhado ao eixo y (
):
Isso valida que quando o filamento está alinhado com o eixo x, a deformação é máxima, e quando está alinhado com o eixo y, a deformação longitudinal é nula, como esperado.
Resposta
A expressão que fornece a deformação longitudinal do filamento inclinado em um ângulo
é: